Zentrumsmannigfaltigkeiten und Verzweigungen in Forward-Backward-Delay Gleichungen

Abstract

In der vorliegenden Arbeit haben wir einen Rahmen geschaffen, um Verzweigungen in Forward-Backward-Delay Gleichungen zu studieren. Dies ist eine Klasse von Differentialgleichungen, bei denen die rechte Seite sowohl von Zeiten der Vergangenheit als auch der Zukunft abhängen darf. Forward-Backward-Delay Gleichungen treten etwa immer dann auf, wenn man Differentialgleichungen auf Gittern studiert. Um zunächst lokale Verzweigungen nahe Gleichgewichten analysieren zu können, wurde die Existenz von Zentrumsmannigfaltigkeiten bewiesen. Dies sind endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten, die alle kleinen beschränkten Lösungen enthalten. Aufgrund ihrer Existenz kann nun das Verzweigungsproblem mit Hilfe von Methoden gewöhnlicher Differentialgleichungen analysiert werden. Im zweiten Teil der Arbeit wurde eine homokline Verzweigung studiert. Homokline Orbits zeichnen sich dadurch aus, dass sie in Vor- und Rückwärtszeit gegen dasselbe Gleichgewicht konvergieren. Es wurde nun speziell der Fall betrachtet, dass nahe des asymptotischen Gleichgewichtes unter Variation eines Parameters periodische Lösungen kleiner Amplitude entstehen. Natürlich stellt sich die Frage, inwiefern der homoklinen Orbit von der Existenz dieser periodischen Lösungen beeinflusst wird. Mit Hilfe invarianter Mannigfaltigkeiten wurde diese Frage in der vorliegenden Arbeit erfolgreich beantwortet: Es konnte die Existenz von Lösungen gezeigt werden, die von der ursprünglichen homoklinen Lösung abzweigen und in Vor- und Rückwärtszeit gegen eine periodische Lösung konvergieren. Diese Lösungen kann man sich als Überlagerung des primären homoklinen Orbits und der periodischen Lösungen vorstellen.

In this work we study local and global bifurcations in forward-backward delay equations. These are differential equations where the right hand side may depend on times in the past as well as in the future. Since forward-backward delay equations occur frequently in the context of lattice differential equations, a deeper understanding of forward-backward delay equations is important. As one of the main results we have proved the existence of center manifolds. These are finite dimensional manifolds, which capture the essential dynamics near steady states. In particular, all small bounded solutions are contained in the center manifold. Since the reduced equation is an ordinary differential equation, well-known methods now become applicable to anaylse the bifurcation problem. In the second part of this work we have studied a homoclinic bifurcation. Homoclinic solutions are characterized by the fact that they converge in forward and backward time to the same steady state. In this work we considered the special case that small periodic solutions are created near the equilibrium when varying a parameter. Of course, we are lead to the question of whether the homoclinic orbit is influenced by the existence of these periodic solutions. Does the homoclinic solution notice the oscillating behaviour near the steady state? With the help of invariant manifolds we could successfully answer this question. More precisely, we could show the existence of bifurcating solutions near the primary homoclinic orbit, which approach a periodic orbit in forward and backward time. These solutions can be visualised as an interaction of the homoclinic orbit and small periodic solutions.