In this thesis, we have presented the variational approach to conformational dynamics (VAC), a method to extract the essential information from simulations of high-dimensional stochastic dynamics. We have focussed on molecular dynamics simulations of biological macromolecules, but the methods presented are applicable to any reversible and ergodic Markov process, and probably even to more general stochastic processes. The basic idea is to approximate the dominant eigenfunctions and eigenvalues of the associated transfer operator from a pre-selected library of basis functions. The approximate eigenfunctions serve as a low-dimensional representation of the essential dynamics. We have explained that a generalized eigenvalue problem must be solved in order to obtain these approximations, and shown that the required matrices can be estimated from equilibrium simulation data. After presenting applications of the method to model systems, it was suggested to use tensor products of one- dimensional functions defined on elementary coordinates in order to model the dynamics of complex systems. In order to circumvent the resulting dimensionality problem, we have discussed the tensor-train-format as a suitable low-rank representation. An adapted learning algorithm was formulated and promising applications were presented. Finally, we have discussed the use of short non-equilibrium simulations in conjunction with the VAC, by focussing on the special case of Markov state models. We have derived an expression for the error between the MSM transition matrix in equilibrium and the expected transition matrix from non-equilibrium sampling. Subsequently, it was explained how the framework of observable operator models can be used to estimate the equilibrium transition matrix from short simulations. Algorithmic details were discussed and successful applications to model systems were presented. We have also outlined how the OOM-based estimation can be applied to the VAC using a general basis set.
Die vorliegende Arbeit beschreibt eine Methode, genannt variational approach to conformational dynamics (VAC), zur Analyse von Simulationsdaten von hochdimensionalen stochastischen Prozessen. Dabei liegt der Fokus auf reversiblen Markov-Prozessen und auf der Anwendung im Bereich von Molekulardynamik Simulationen. Die grundlegende Idee ist es, die führenden Eigenfunktionen des mit dem Markov-Prozess assoziierten Transferoperators aus einer vorab gewählten Menge von Basisfunktionen zu approximieren. Die auf diese Art approximierten Eigenfunktionen können zur niedrig-dimensionalen Darstellung des Prozesses verwendet werden. Zur Bestimmung der Approximation muss ein generalisiertes Eigenwertproblem gelöst werden, wobei die dafür benötigten Matrizen aus langen Simulationen berechnet werden können. In der Arbeit wurde die Verwendung von Tensorprodukt Darstellungen diskutiert, damit die Methode mit einer möglichst großen und dennoch interpretierbaren Basis verwendet werden kann. Um den dabei auftretenden “Fluch der Dimension” zu vermeiden, wurde ein Niedrigrang-Format, das tensor-train-format, verwendet. Die zugehörigen Algorithmen wurden an die Problemstellung angepasst und erfolgreich auf Beispielsysteme angewandt. Im letzten Teil der Arbeit wurde untersucht, wie die Methode auch mit Hilfe von vielen Kurzzeit-Simulationen verwendet werden kann. Diese Frage wurde zunächst für Markov state models (MSM) untersucht, die einen Spezialfall des VAC darstellen. Wir haben einen Ausdruck für den Fehler bei der MSM Schätzung aus zu kurzen Simulationen hergeleitet. Anschließend wurde erklärt, wie sich der Fehler mit Hilfe von observable operator models (OOM) korrigieren lässt. Die Diskussion algorithmischer Details und die Anwendung auf Beispielsysteme bilden den Abschluss der Arbeit.