Numerical Approximation in Riemannian Manifolds by Karcher Means

Abstract

(1) Let $(M,g)$ be a compact Riemannian manifold without boundary, and let $\Delta$ be the $n$-dimensional standard simplex. Following Karcher (1977), we consider, for $n+1$ given points $p_i \in M$, the function \\[ E: M \times \Delta \to \R, (a,\lambda) \mapsto \lambda^0 d^2(a,p_0) + \dots + \lambda^n d^2(a,p_n), \\] where $d$ is the geodesic distance in $M$. If all $p_i$ lie in a sufficiently small geodesic ball, then $x: \lambda \mapsto argmin_a E(a,\lambda)$ is a well-defined mapping $\Delta \to M$ (5.3). We call $s := x(\Delta)$ the Karcher simplex with vertices $p_i$. Suppose $\Delta$ carries a flat Riemannian metric $g^e$ induced by edge lengths $d(p_i,p_j)$. If all edge lengths are small than $h$ and $vol(\Delta,g^e) \geq \alpha h^n$ for some $\alpha > 0$, then we show in 6.17 and 6.23 that \begin{equation} %\tag{A.1a} |(x^*g - g^e)(v,w)| \leq c h^2 |v| |w|, \qquad % |(\nabla^{x^*g} - \nabla^{g^e})_v w| \leq c h |v| |w| \end{equation} with some constant $c$ depending only on the curvature tensor $R$ of $(M,g)$ and $\theta$. With little effort, this gives interpolation estimates for functions $u: s \to \R$ (7.4) and $y: s \to N$ for a second Riemannian manifold $N$ (7.14). Also, following Leibon und Letscher (2000), this simplex construction allows for the definition of a Voronoi decomposition (8.7). Thus we can consider $(M,g)$ to be triangulated in the following. On each simplex, $g$ is approximated by a metric $g^e$ with (A1.a), and weakly differentiable functions $u \in H^1(M,g)$ can be approximated by polynomials $u_h \in P^1(M)$. Via the standard method of surface finite element methods (Dziuk 1988, Holst and Stern 2012), variational problems such as the Poisson problem (10.13, 10.17, 13.14) or the Hodge decomposition (10.15) in $H^1(M,g)$ can be compare to those in $H^1(M,g^e)$ and their Galerkin approximations in $P^1(M)$. Corresponding to the standard surface finite element theory for problems on submanifolds of $\R^m$, also submanifolds $S \subset M$ may be approximated by Karcher simplices. The geometry error is the same as for submanifolds of $\R^m$ plus an additional term $ch^2$ (11.18). (2) Let $M$ be the geometric realisation of a simplicial complex $K$. The simplicial cohomology $(C^k(K), \partial^*)$ has been interpreted as discrete outer calculus (DEC) by Desbrun and Hirani (2003, 2005). We define spaces $P^{-1}\Omega^k \subset L^\infty\Omega^k$ and outer differentials and give an isometric cochain map $C^k \to P^{-1}\Omega^k$ (9.11). This reduces the computation of variational problems in discrete outer calculus to variational problems in a trial space of non-conforming differential forms. We investigate the approximation properties of $P^{-1}\Omega^k$ in $H^1\Omega^k$ (9.19, 9.20) and compare the solutions to variational problems in both spaces (10.26--28).

(1) Sei $(M,g)$ eine unberandete, kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und $\Delta$ das $n$-dimensionale Standardsimplex. Für $n+1$ gegebene Punkte $p_i \in M$ betrachten wir mit Karcher (1977) die Funktion \\[ E: M \times \Delta \to \R, (a,\lambda) \mapsto \lambda^0 d^2(a,p_0) + \dots + \lambda^n d^2(a,p_n), \\] worin $d$ der geodätische Abstand in $M$ sei. Liegen alle $p_i$ in einem hinreichend kleinen geodätischen Ball, so ist $x: \lambda \mapsto argmin_a E(a,\lambda)$ eine wohldefinierte Funktion $\Delta \to M$ (5.3). Wir nennen $s := x(\Delta)$ das Karcher-Simplex mit Ecken $p_i$. Auf $\Delta$ sei eine flache Riemannsche Metrik $g^e$ durch Vorgabe von Seitenlängen $d(p_i,p_j)$ definiert. Wenn alle Seitenlängen kleiner als $h$ sind und $vol(\Delta,g^e) \geq \alpha h^n$ für ein $\alpha > 0$ ist, so zeigen wir in 6.17 und 6.23 \begin{equation} %\tag{A.1a} |(x^*g - g^e)(v,w)| \leq c h^2 |v| |w|, \qquad % |(\nabla^{x^*g} - \nabla^{g^e})_v w| \leq c h |v| |w| \end{equation} mit einer nur vom Krümmungstensor $R$ von $(M,g)$ und $\theta$ abhängigen Konstanten $c$. Daraus folgen mit wenig Aufwand Interpolationsabschätzungen für Funktionen $u: s \to \R$ (7.4) und $y: s \to N$ für eine zweite Riemannsche Mannigfaltigkeit $N$ (7.14). Auch erlaubt diese Simplexdefinition, auf Grundlage der Voronoi-Zerlegung von Leibon und Letscher (2000) eine Karcher-Delaunay-Triangulierung zu definieren (8.7). Daher können wir im folgenden ganz $(M,g)$ als trianguliert annehmen. Auf jedem Simplex ist $g$ durch eine Metrik $g^e$ mit (A1.a) approximiert, und schwach differenzierbare Funktion $u \in H^1(M,g)$ lassen sich durch stückweise polynomielle $u_h \in P^1(M)$ approximieren. In der üblichen Weise (Dziuk 1988, Holst und Stern 2012) lassen sich daher Variationsprobleme wie das Poissonproblem (10.13, 10.17, 13.14) oder die Hodge-Zerlegung (10.15) in $H^1(M,g)$ mit denjenigen in $H^1(M,g^e)$ und ihren Galerkin-Approximationen in $P^1(M)$ vergleichen. Anknüpfend an die gängige Finite-Elemente-Theorie für Probleme auf Untermannigfaltigkeiten des $\R^m$ lassen sich auch Untermannigfaltigkeiten $S \subset M$ durch Karcher-Simplexe approximieren. Der dabei auftretende Geometriefehler ist gleich dem für Untermannigfaltigkeiten des $\R^m$ zuzüglich eines Terms $ch^2$ (11.18). (2) Sei $M$ die geometrische Realisierung eines simplizialen Komplexes $K$. Die simpliziale Kohomologie $(C^k(K), \partial^*)$ ist von Desbrun und Hirani (2003, 2005) als diskretes äußeres Kalkül (DEC) interpretiert worden. Wir definieren Räume $P^{-1}\Omega^k \subset L^\infty\Omega^k$ und äußere Differentiale und geben eine isometrische Kokettenabbildung $C^k \to P^{-1}\Omega^k$ an (9.11). Damit ist die Berechnung von Variationsproblemen im diskreten äußeren Kalkül auf Variationsprobleme in einem Raum von nicht- konformen Ansatz-Differentialformen zurückgeführt. Wir untersuchen die Approximationseigenschaften von $P^{-1}\Omega^k$ in $H^1\Omega^k$ (9.19, 9.20) und vergleichen die Lösungen von Variationsproblemen in ihnen (10.26--28).