Kac-Moody Eisenstein series in string theory

Abstract

Understanding nature on its very smallest ‘physical-length’ scale has always been a central goal of physics. Theoretical investigations into this problem over the last fifty years or so were largely driven by the aim of reconciling the theory of general relativity, the theory which describes the fundamental force of gravity and therefore the dynamics of space-time, with the theory of quantum mechanics, which dominates the physical phenomena on very small (sub- atomic) scales, within one big framework, referred to as the theory of quantum gravity. One candidate for such a theory is string theory. The fundamental assumption of this theory is that the smallest constituents of nature are not given by point particles, but rather by one dimensional strings the size of the Planck length. Through their different vibrational modes, strings are thought to produce the different properties of the observed spectrum of particles in nature. With this basic idea, string theory is not only predicted to describe the gravitational force, but also all other known forces of nature, and therefore extends far beyond the concept of only being a theory of quantised gravity. Since its initial proposal, the theory has developed into a vast and complex mathematical web of different theories, which all seem to be part of a larger, all-encompassing theory. Key to understanding the complicated mathematical structure of this theory is the concept of symmetries. Such symmetries, which are also known as duality relations, for instance manifest themselves in special mathematical functions, contained in the amplitudes that capture information about the interaction processes of strings with one another. A particularly relevant example of such a function is given by the so-called Eisenstein series, which display invariance under certain discrete duality groups. The central goal of this thesis is to study the properties of Eisenstein series invariant under special, particularly large (in fact infinite dimensional) symmetry groups, known as Kac–Moody groups. While a large part of this thesis is dedicated to the mathematical problem of calculating the Fourier expansion of these series, our results are also explained within the relevant physical context.

Seit jeher ist es ein zentrales Problem der Physik, die Natur auf ihrer kleinsten physikalischen Längenskala zu verstehen und zu beschreiben. In den letzten fünfzig Jahren war die theoretische Arbeit an diesem Problem hauptsächlich motiviert durch die Zielsetzung, die Allgemeine Relativitätstheorie, welche die Gravitation und die Dynamik der Raumzeit beschreibt, mit der Theorie der Quantenmechanik, welche die Physik auf kleinen (subatomaren) Längenskalen dominiert, miteinander in Einklang zu bringen in einer einzigen Theorie, deren allgemein gebräuchliche Bezeichnung Quantengravitation ist. Die String Theorie, die auf der grundlegenden Annahme basiert, dass die kleinsten Bausteine der Natur nicht durch Punktteilchen, sondern durch eindimensionale ‘Fäden’, die Strings, gegeben sind, deren Länge der Größenordnung der Plancklänge entspricht, ist ein mögliches Erklärungsmodell. Weiterhin, so der Gedanke, wird das in der Natur beobachtete Teilchenspektrum durch unterschiedliche Schwingungszustände der Strings erzeugt. Ausgehend von dieser Annahme, stellt die String Theorie nicht nur eine Theorie der Quantengravitation dar, sondern beschreibt darüber hinaus auch alle anderen fundamentalen Wechselwirkungen der Natur. Seit ihrer ersten Beschreibung, hat sich die String Theorie zu einem komplexen Netz verschiedener Theorien entwickelt, die jedoch alle verschiedene Aspekte einer größeren, übergeordneten Theorie zu sein scheinen. Ein wichtiger Ansatz zum Verständnis dieser komplexen mathematischen Struktur ist die Rolle von Symmetrien. Diese Symmetrien, auch Dualität genannt, manifestieren sich zum Beispiel in speziellen mathematischen Funktionen, die in Amplituden von Streuprozessen von Strings auftauchen. Ein relevantes Beispiel für solch eine Funktion sind die Eisensteinreihen, welche eine Invarianz unter diskreten Dualitätsgruppen aufweisen. Das zentrale Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Eigenschaften von Eisensteinreihen zu untersuchen, die unter sehr großen, insbesondere unendlich-dimensionalen Kac–Moody Gruppen invariant sind. Der Großteil dieser Dissertation ist dem mathematischen Problem der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen gewidmet, jedoch werden die erzielten Resultate auch in dem relevanten physikalischen Kontext dargestellt.