The C₁ conjecture for the moduli space of stable vector bundles with fixed determinant on a smooth projective curve

Abstract

The C1 conjecture states that every separably rationally connected variety over a C1 field has a rational point. The conjecture has been proven in several cases by the works of Esnault, Graber, Harris, Starr, de Jong and Colliot-Thélène. The conjecture is still open in the case when the C1 field is the fraction field K of a Henselian discrete valuation ring R of mixed characteristic with algebraically closed residue field k. In this thesis we prove the conjecture in this setting for a special case. Fix integers r,d coprime with r ≥ 2. Let XK be a smooth, projective, geometrically connected curve of genus g ≥ 2 defined over K and LK a fixed invertible sheaf on XK of degree d. The moduli space of geometrically stable locally free sheaves of rank r and determinant LK on the curve XK is a separably rationally connected variety. In this thesis we prove the C1 conjecture for this variety under the assumption that the curve XK has a semistable model XR -> Spec(R) with the special fibre Xk, a generalised tree-like curve whose singular components do not normalise to a rational curve. In order to show the existence of a K-rational point, we prove the existence of a geometrically stable locally free sheaf of rank r and determinant LK on the curve XK under our assumptions. By modifying the classical proof by Le Potier, we first prove the existence of a semistable locally free sheaf of fixed rank and determinant on a smooth curve of genus g ≥ 1, defined over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Then using the theory of generalised parabolic sheaves we prove the same result on an irreducible nodal curve defined over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. Using these results and stability conditions given by Teixidor i Bigas, we prove the existence of a semistable locally free sheaf with fixed rank and determinant on the special fibre Xk. Then using Grothendieck algebraisation and Artin approximation, we lift this semistable locally free sheaf of fixed rank and determinant to the model XR. Finally using standard arguments, we conclude that the pull back of this sheaf to the generic fibre XK gives a geometrically stable locally free sheaf of required rank and determinant on XK.

Die C1-Vermutung besagt, dass jede separabel rational zusammenhängende Varietät über einem C1-Körper einen rationalen Punkt besitzt. Die Vermutung wurde in mehreren Fällen in den Arbeiten von Esnault, Graber, Harris, Starr, de Jong und Colliot-Thélène bewiesen. Sie ist jedoch noch immer offen im Fall, dass der C1-Körper der Quotientenkörper K eines Henselschen diskreten Bewertungsringes R von gemischter Charakteristik mit algebraisch abgeschlossenem Restklassenkörper k ist. In dieser Arbeit beweisen wir die Vermutung in dieser Situation für einen Spezialfall. Wir fixieren koprime ganze Zahlen r, d mit r ≥ 2. Sei XK eine glatte, projektive, geometrisch verbunden, Kurve über K vom Geschlecht g ≥ 2 und sei LK eine fixe invertierbare Garbe auf XK vom Grad d. Der Modulraum geometrisch stabiler lokal freier Garben vom Rang r und mit Determinante LK auf der Kurve XK ist eine separabel rational zusammenhängende Varietät. In dieser Arbeit beweisen wir die C1-Vermutung für diese Varietät unter der Voraussetzung, dass die Kurve XK ein semistabiles Modell XR -> Spec(R) besitzt, in dem die spezielle Faser eine generalisierte baumartige Kurve ist, deren singuläre Komponenten eine nicht-rationale Normalisierung haben. Um die Existenz eines K-rationalen Punktes zu beweisen, zeigen wir die Existenz einer geometrisch stabilen lokal freien Garbe vom Rang r und mit Determinante LK auf der Kurve XK unter unseren Voraussetzungen. Indem wir einen klasischen Beweis von Le Potier modifizieren, beweisen wir zuerst die Existenz einer semistabilen lokal freien Garbe mit festgelegtem Rang und Determinante auf einer glatten Kurve vom Geschlecht g ≥ 1 über einem algebraisch abgeschlossenen Körper von beliebiger Charakteristik. Dann benutzen wir die Theorie der generalisierten parabolischen Garben, um dasselbe Resultat für eine irreduzible nodale Kurve, die über einem algebraisch abgeschlossenen Körper beliebiger Charakteristik definiert ist, zu beweisen. Mit Hilfe dieser Resultate und von Stabilitätsbedingungen von Teixidor i Bigas beweisen wir die Existenz einer semistabilen lokal freien Garbe von festem Rang und fester Determinante auf der speziellen Faser Xk. Dann benutzen wir Grothendieck-Algebraisierung und Artin-Approximation, um diese semistabile lokal freie Garbe auf das Modell XR zu heben. Schließlich benutzen wir Standardargumente, um festzustellen, dass die Zurückziehung dieser Garbe auf die generische Faser eine geometrisch stabile lokal freie Garbe von benötigtem Rang und Determinante ergibt.