Polyhedral Combinatorics of Coxeter Groups

Abstract

This thesis presents recent developments concerning two open problems related to algebra and discrete geometry. In 1934, Harold S. M. Coxeter introduced Coxeter groups as abstractions of groups generated by reflections in a vector space [Cox34]. The present work lays out how a study of geometric and combinatorial properties of Coxeter groups contributed to the comprehension of the two open problems. Furthermore, this thesis presents some progress in proving the first problem, and an application of the approach introduced in this thesis for the second problem. Open Problem (Lattice for infinite Coxeter groups, Dyer [Dye11]). Is there, for each infinite Coxeter group, a complete ortholattice that contains the weak order? In Chapter 2, we study the asymptotical behaviour of roots of infinite Coxeter groups, which is part of a joint work with Christophe Hohlweg and Vivien Ripoll [HLR13]. In particular, we show that the directions of roots tend to the isotropic cone of the geometric representation of the root system. Moreover, using this framework, this thesis presents a proof that there is a complete ortholattice structure enclosing the weak order of infinite Coxeter groups of rank at most 3. Open Problem (Existence of multiassociahedra, Jonsson [Jon05]). Let k be an integer such that k >= 1. Is there a polytope whose boundary complex corresponds to the simplicial complex of sets of diagonals of a convex polygon not containing k + 1 mutually crossing diagonals? In Chapter 3 we introduce, for any finite Coxeter group and any nonnegative integer k, a spherical subword complex called multi-cluster complex. This family generalizes the concept of multitriangulations of type A and B to arbitrary finite Coxeter groups. For k = 1, this simplicial complex coincides with the finite cluster complex of the given type. We study combinatorial and geometric properties of multi-cluster complexes. In particular, we show that every spherical subword complex is the link of a face of a multi-cluster complex. This work was realized jointly with Cesar Ceballos and Christian Stump [CLS13]. Finally, this approach allows us to exhibit formulas counting the number of common vertices of permutahedra and generalized associahedra for arbitrary finite Coxeter groups and Coxeter elements.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit den neuesten Entwicklungen in zwei noch offenen Problemen der Algebra und diskreten Geometrie. 1934 führte Harold S. M. Coxeter die Coxeter-Gruppen als Abstraktion von Gruppen ein, die durch Spiegelungen in einen Vektorraum erzeugt werden. In dieser Dissertation verwenden wir geometrische und kombinatorische Eigenschaften der Coxeter- Gruppen um das Verständnis der beiden unten genannten Probleme zu verbessern. Genauer gesagt bietet diese Arbeit einen ersten Schritt zum Beweis des ersten Problems, und diskutiert einen möglichen Ansatz für die Lösung des zweiten Problems. Offenes Problem (Verband Struktur für unendliche Coxeter-Gruppen, Dyer [Dye11]). Gibt es einen vollständigen Orthoverband, der die schwache Ordnung der unendlichen Coxeter-Gruppen enthält? Im 2. Kapitel untersuchen wir die asymptotische Verhalten derWurzeln von unendlichen Coxeter-Gruppen. Dies ist Teil einer gemeinsamen Arbeit mit Christophe Hohlweg und Vivien Ripoll [HLR13]. Insbesondere zeigen wir, dass die Richtungen der Wurzeln zu den isotropen Kegeln der geometrischen Darstellung des Wurzelsystems konvergieren. Darüber hinaus demonstrieren wir mit diesem Ansatz, dass ein vollständiger Orthoverband für die schwache Ordnung der unendlichen Coxeter-Gruppen von Rang höchstens 3 existiert. Offenes Problem (Existenz der Multiassoziaeder, Jonsson [Jon05]). Sei k eine ganze Zahl >= 1. Existiert ein Polytop, dessen Randkomplex dem Simplizialkomplex der Menge von Diagonalen eines konvexen Polygons entspricht, die keine k + 1 sich paarweise schneidende Diagonalen enthalten? Im 3. Kapitel führen wir für jede Coxeter-Gruppe und jede nichtnegative ganze Zahl k einen sphärischen Teilwortkomplex ein, den sogenannten Multi-Cluster Komplex. Diese Familie verallgemeinert das Konzept von Multitriangulierungen der Typen A und B auf beliebige endliche Coxeter- Gruppen. Für k = 1 fällt dieser Simplizialkomplex mit dem endlichen Cluster Komplex des gegebenen Typs zusammen. Wir untersuchen kombinatorische und geometrische Eigenschaften von Multi-Cluster Komplexen. Insbesondere zeigen wir, dass jeder sphärische Teilwortkomplex der Link einer Seite in einem Multi-Cluster Komplex ist. Dieser Teil der Dissertation basiert auf einer gemeinsamen Arbeit mit Cesar Ceballos und Christian Stump [CLS13]. Abschließend ermöglicht es uns dieser Ansatz Formeln zu entwickeln, die die Anzahl der gemeinsamen Eckpunkte von Permutaedern und verallgemeinerten Assoziaedern für beliebige endliche Coxeter-Gruppen und Coxeter-Elemente berechnen.