Cascades of heteroclinic connections in hyperbolic balance laws

Abstract

The Dissertation investigates the relation between global attractors of hyperbolic balance laws and viscous balance laws on the circle. Hence it is thematically located at the crossroads of hyperbolic and parabolic partial differential equations with one-dimensional space variable and periodic boundary conditions given by: u_t + [f(u)]_x = g(u) (H) and u_t + [f(u)]_x = eu_xx + g(u). (P) The results of the work can be split into two areas: The description of the global attractor of equation (H) and the persistence of solutions on the global attractor of (P) when e vanishes. The key idea of the work is the introduction of finite dimensional sub-attractors. This tool allows to overcome several difficulties in the description of the global attractor of equation (H) and closes one of the last remaining gaps in its complete description: Theorem 2.6.1 yields a complete parameterization of all finite dimensional sub-attractors in the hyperbolic setting. The second main result corrects a result on the persistence of heteroclinic connections by Fan and Hale [FH95] for the case e-->0 (Connection Lemma 3.2.8). The Cascading Theorem 3.2.9 then yields convergence of heteroclinic connections to a cascade of heteroclinics in case of non-persistence. In addition to the introduction and conclusions, the work consists of three chapters: Chapter 2 gives a self contained overview about what is known for global attractors for both equations and concludes with the result on the parameterizations of the sub- attractors of the hyperbolic equation (H). Chapter 3 is exclusively concerned with the question of persistence. The two main results on persistence (the Connection Lemma and the Cascading Theorem) are stated and proved. Chapter 4 concludes with geometrical investigations of persisting and non-persisting heteroclinic connections for e-->0 for some low dimensional sub-attractor cases. Not all results are rigorous in this chapter.

Die vorgelegte Arbeit beschäftigt sich mit der Frage des Verhältnisses globaler Attraktoren von hyperbolischen Gleichgewichtssätzen auf der einen und den viskosen Gleichgewichtssätzen auf der anderen Seite. Sie liegt also am Schnittpunkt der Theorie der hyperbolischen und parabolischen partiellen Differenzialgleichungen mit eindimensionaler Ortsvariable und periodischen Randwerten, die gegeben sind durch: u_t + [f(u)]_x = g(u) (H) beziehungsweise u_t + [f(u)]_x = eu_xx + g(u). (P) Die Hauptresultate der Arbeit gliedern sich in zwei Teilbereiche: Durch das neu eingeführte Konzept endlich dimensionaler Sub-Attraktoren gelingt es einige Schwierigkeiten bei der Beschreibung des globalen Attraktors von (H) zu überwinden und eine der letzten Lücken zu dessen vollständiger Beschreibung zu schliessen. Theorem 2.6.1 liefert eine vollständige Parameterisierung aller endlich dimensionaler Sub-Attraktoren im hyperbolischen Setting. Das zweite Haupresultat liegt im Bereich der Persistenz von Lösungen beim Übergang von e-->0. Hier gelingt es ein Resultat über die Persistenz von heteroklinen Verbindungen der parabolischen Gleichung von Fan und Hale [FH95] zu widerlegen (Connection Lemma 3.2.8) und in Theorem 3.2.1 zu korrigieren. Das Cascading Theorem 3.2.9 liefert dann im Falle der nicht-Persistenz die Konvergenz des heteroklinen Orbits der parabolischen Gleichung gegen eine Kaskade heterokliner Verbindungen der hyperbolischen Gleichung. Die Arbeit gliedert sich neben Einleitung und Diskussion in drei Teile: In Kapitel 2 werden die bereits bestehenden Resultate über globale Attraktoren beider Gleichungen zur Verfügung gestellt. Als Abschluss wird Theorem 2.6.1 formuliert und bewiesen. Kapitel 3 beschäftigt sich ausschließlich mit dem Problem der Persistenz von heterokinen Verbindungen und dem Beweis der beiden diesbezüglichen Hauptresultate. Kapitel 4 schließlich rundet die Arbeit ab mit einer Betrachtung der geometrischen Eigenschaften der niedrig dimensionalen sub-Attraktoren der hyperbolischen Gleichung und einer Übertragung dieser Eigenschaften auf die sub-Attraktoren der parabolischen Gleichung. Nicht alle Resultate in diesem Kapitel sind rigeros.