Modulräume dekorierter Prinzipalbündel auf einer projektiven Kurve

Abstract

Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion eines groben Modulraums für Prinzipalbündel auf einer glatten projektiven Kurve X mit Dekoration über einem fixierten Punkt. Diese Dekoration kann als verallgemeinerte parabolische Struktur aufgefasst werden. Der Strategie von Schmitt folgend werden in Kapitel 6 zunächst Vektorbündel mit allgemeiner globaler und lokaler Dekoration betrachtet: Wir nennen ein Vektorbündel zusammen mit einem Schnitt in einem assoziierten projektiven Bündel und einem Punkt in der Faser eines weiteren assoziierten projektiven Bündels einen dekorierten Swamp. Wir definieren zunächst eine von zwei positiven rationalen Parametern abhängige Stabilitätsbedingung für diese Objekte. Anschließend konstruieren wir einen Parameterraum mit lokal universeller Eigenschaft und verträglicher SL(n)-Wirkung. Wir zeigen, dass ein Punkt in diesem Raum genau dann GIT-(semi)stabil ist, wenn der entsprechende dekorierte Swamp (semi)stabil ist. Schließlich erhält man den (projektiven) groben Modulraum der (semi)stabilen dekorierten Swamps als GIT-Quotienten des Parameterraums. Im Hinblick auf die spätere Anwendung für die Konstruktion des Modulraums dekorierter Prinzipalbündel formulieren wir alle diese Ergebnisse für dekorierte Tupel von Vektorbündeln, die als dekorierte Tumps bezeichnen. Als Spezialfall erhält man sowohl die Tumps von Schmitt als auch die parabolischen Vektorbündel von Mehta. Eine weitere Anwendung sind die Vektorbündel mit Niveaustruktur, die Ngo Dac verwendet hat, um eine Kompaktifizierung des Raums der Shtukas mithilfe der GIT zu konstruieren. Im Anschluss untersuchen wir das Verhalten der Stabilitätsbedingung für große Parameter. Dies führt auf den Begriff der asymptotischen Stabilität. In Kapitel 7 zeigen wir, dass eine Konstante C existiert, so dass ein dekorierter Tump genau dann asymptotisch (semi)stabil ist, wenn er für alle Parameter größer als C auch (semi)stabil ist. Dieses Ergebnis erlaubt es, auch den Modulraum der (semi)stabilen parabolischen Higgs-Bündel als abgeschlossenes Unterschema des Modulraums dekorierter Tumps zu konstruieren. In Kapitel 8 kommen wir schließlich zu den dekorierten Prinzipalbündeln: Es sei G eine affine reduktive Gruppe. Wir bezeichnen ein G-Bündel zusammen mit einem Punkt in der Faser eines assoziierten projektiven Bündels als dekoriertes Prinzipalbündel. Wieder definieren wir ein von bestimmten Parametern abhängiges Stabilitätskriterium. Mithilfe der dekorierten Pseudo-Prinzipalbündel führen wir die stabilen dekorierten Prinzipalbündel auf asymptotisch stabile dekorierte Tumps zurück. Dies erlaubt schließlich die Konstruktion des (projektiven) groben Modulraums der (semi)stabilen dekorierten Prinzipalbündel als GIT-Quotienten eines Parameterraums. Als Spezialfall erhält man die parabolischen Prinzipalbündel. Für eine halbeinfache Lie-Gruppe G und spezielle Wahl des assoziierten Bündels erhält man die G-Bündel mit Niveaustruktur. Wir berechnen explizite Stabilitätsbedingungen für die orthogonale und die symplektische Gruppe. Ergebnisse von Ngo Dac in dieser Richtung sind angekündigt aber bisher nicht erschienen.

The aim of this work is the construction of a coarse moduli space for prinicpal bundles on a smooth projective cruve X with a decoration over a a fixed point. This decoration can be ragarded as a generalization of a parabolic structure. Following the strategy of Schmitt we first consider vector bundles with a general global and local decoration. We call a vector bundle together with a section in an associated projective bundle and a point in the fibre of another associated projective bundle a decorated swamp. We introduce a stability condition for these objects, which depends on two positive rational parameters. Then we construct a parameter space with a locally universal family and a compatible action of SL(n). We show that a point in this space is GIT-(semi-)stable if and only if the corresponding decorated swamp is (semi-)stable. Finally, the (projective) coarse moduli space of (semi-)stable decorated swamps is obtained as the GIT-quotient of the parameter space. With a view to the application to the construction of the moduli space of decorated principal bundles all results are fomrulated for decorated tuples of vector bundles, which we call decorated tumps. As a special case one obtains the tumps of Schmitt as well as the parabolic vector bundles of Mehta. Another example is the moduli space of vector bundles with a level structure. These were utilized by Ngo Dac to compactify the stack of shtukas using GIT. In chapter 7 we study the behaviour of the stability condition for large parameters. This leads to the notion of asymptotic stability. We show that there is a constant C such that a decorated Tump is asymptotically (semi-)stable if and only if it is (semi-)stable for all parameters larger than C. This result allows to construct the moduli space of parabolic Higgs bundles as a closed subscheme of the moduli space of decorated tumps. Chapter 8 is devoted to the study of decorated principal bundles: Let G be an affine reductive group. We call a G-bundle together with a point in the fibre of an associated projective bundle a decorated principal bundle. Again we introduce a parameter dependent stability condition. Using the notion of pseudo-principal bundles we reduce the stable decorated principal bundles to asymptotically stable decorated tumps. This allows us to construct the (projective) coarse moduli space of (semi-)stable decorated principal bundles as the GIT-quotient of a parameter space. As a special case one obtains the parabolic principal bundles. For a semi-simple Lie group G and a certain choice of the associated bundle we obtain G-bundles with a level structure. We calculate explicit stability conditions for the classical groups.