Monte-Carlo-Simulation einer Überstruktur auf Lipidmembranen

Abstract

Wir beschreiben flüssige Lipidmembranen durch Krümmungsdeformationen. Dabei gehen wir über die übliche Hooke´sche Näherung hinaus und betrachten Terme höherer Entwicklungsordnung in den Krümmungen. Die Grösse der Biegemodule vor den einzelnen Entwicklungstermen werden mit Hilfe von Membranmodellen abgeschätzt, wobei ein negativer Modul für das Quadrat der Gauss´schen Krümmung hergeleitet wird. Dies führt zu einer sattelförmig gekrümmten Fläche, die wir Überstruktur nennen.

Den aus der Elastizitätstheorie folgenden Energieausdruck behandeln wir mit Hife von Monte-Carlo-Simulation (Metropolis-Algorithmus). Die Membran wird auf dem Quadratgitter in Monge-Darstellung gerechnet, wobei die Stützstellen fest in der projizierten Ebene bleiben.

Die Simulation mit dem Energieausdruck der Hooke´schen Näherung führt zu einem Anwachsen der Membranfläche, was für diese Näherungsordnung einen Korrekturterm notwendig macht. Wir leiten einen solchen Korrekturterm für die erste Entwicklungsordnung her.

Mit dem gesamten Energieausdruck aus der Elastizitätstheorie bestimmen wir das Phasenverhalten der Überstruktur in Abhängigkeit der Temperatur. Wir finden drei Phasenbereiche und zwei Übergänge. Diese Resultate werden überprüft durch Simulationen auf einem Gitter, das während der Simulation in regelmässigen Zeitabständen gedreht wird. Wir finden, daß eine Gitterachsenanbindung zu einer Verfälschung der Resultate führen kann. Die aus dem rotierenden Gitter folgenden Bilder sind mit experimentell gefundenen Bildern vergleichbar.

We describe fluid lipid membranes by bending deformations. In doing so, we go beyond the conventionally used Hookeian approximation and we consider terms of higher order expansion in curvature. The size of the bending moduli in front of each single expansion term is estimated with the help of membrane models, whereby a negative modulus for the square of Gaussian curvature is being deduced. This leads to a surface, bent in a saddle shape, which we call superstructure. We treat the energy expression following from elasticity theory with the help of Monte Carlo simulation (Metropolis algorithm). The membrane is being computed on a square-lattice in Monge representation, whereby the grid points remain fixed in the projected area.

The simulation with the energy expression of Hookeian approximation leads to a increase of membrane area, from what follows the necessity of a correction term for this order of expansion. We deduce such a correction term for the first order of expansion.

With the complete energy expression from elasticity theory, we specify the phase behavior of the superstructure as a function of temperature. We find three different phase regions and two transitions. These results are being verified by simulations on a lattice, that is rotated during the simulation after regular time intervals. We find out, that a fixation of the structure to the lattice axes can lead to a corruption of the results. The pictures succeeding from the simulations on the rotating lattice are comparable to pictures found in the experiment.