Ricci Fluss auf einer Klasse nichtkompakter warped product Mannigfaltigkeiten und Gausssche Abschaetzungen

Abstract

Wir untersuchen zuerst die Evolution der Mannigfaltigkeit M = \R \times N (\R bezeichnet die reellen Zahlen) mit warped product Metrik h = f_0^2 dx^2 + g_0^2 g_N unter Ricci Fluss, wobei (N,g_N) eine flache, vollstaendige, zusammenhaengende Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n \geq 2 ist und f_0,g_0: \R \to \R C^\infty und positiv sind (dx^2 bezeichnet die Standardmetrik auf \R) und so gewaehlt werden, dass (M,h) vollstaendig ist und beschraenkte Kruemmung hat. Wir zeigen das Erhaltenbleiben der warped product Struktur, Langzeitexistenz und dass die Loesung vom Typ III ist. Falls g_0 beschraenkt ist und die Metrik so reskaliert wird, dass eine feste Faser {y} \times N fuer alle Zeiten isometrisch zu (N,g_N) ist, zeigen wir die Konvergenz der Menge aller Punkte, deren Abstand zu {y} \times N \leq r ist, gegen einen flachen Zylinder [-r,r] \times N, fuer jedes feste r > 0. Ausserdem zeigen wir, dass, falls zusaetzlich lim_{x \to \pm \infty} g_0 (x) = 0 gilt, (M,h(0)) endliches Volumen hat und (N,g_N) homogen ist, die Loesung kollabiert, d. h. dass der Injektivitaetsradius gleichmaessig gegen 0 konvergiert, waehrend die Kruemmungen beschraenkt bleiben. Dieses Resultat gilt auch fuer den normalisierten (=volumenerhaltenden) Ricci Fluss. Als Naechstes betrachten wir den Ricci Fluss auf allgemeinen vollstaendigen nichtkompakten Mannigfaltigkeiten. Unter geeigneten Kruemmungsannahmen zeigen wir obere Gausssche Abschaetzungen fuer die geometrischen Groessen |Rm|^2, |\n Rm|^2 und |T|^2 (\n bezeichnet die kovariante Ableitung und T den spurlosen Ricci Tensor), falls diese zum Anfangszeitpunkt t=0 kompakten Traeger haben. Die Anwendung der Gaussschen Abschaetzungen auf die warped product Mannigfaltigkeit \R \times N liefert, falls die Enden zum Zeitpunkt t=0 hyperbolisch (alle Schnittkruemmungen =k < 0) sind und N kompakt ist, dass die Enden zu jedem festen positiven Zeitpunkt t >0 asymptotisch konstante Kruemmung -\frac{1}{2nt - \frac{1}{k}} haben, und eine quantitative Abschaetzung, wie stark die Kruemmungen von dieser Konstante abweichen. Ferner ist -\frac{1}{2nt - \frac{1}{k}} genau die Rate, mit der die Kruemmungen auf dem hyperbolischen Raum H^{n+1} unter Ricci Fluss abfallen. Schliesslich zeigen wir, unter Verwendung des Verhaltens der Nullstellen von Loesungen linearer parabolischer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf \R und unter geeigneten Zusatzannahmen, dass die Enden der warped product Mannigfaltigkeit \R \times N zu jedem positiven Zeitpunkt t > 0 negative Kruemmung haben, falls sie fuer t=0 hyperbolisch sind.

We first examine the evolution of the manifold M = \R \times N (\R denotes the real numbers) with warped product metric h = f_0^2 dx^2 + g_0^2 g_N under Ricci flow, where (N,g_N) is a flat, complete, connected Riemannian manifold of dimension n \geq 2 and f_0,g_0: \R \to \R are C^\infty and positive (dx^2 denotes the standard metric on \R) and are chosen such that (M,h) is complete and has bounded curvature. We show preservation of the warped product structure, longtime existence and that the solution is of type III. If g_0 is bounded and the metrics are rescaled in such a way that a fixed fiber {y} \times N is isometric to (N,g_N) for all times, we show convergence of the set of all points, whose distance to {y} \times N is \leq r, to a flat cylinder [-r,r] \times N, for each fixed r > 0. Furthermore, we show, if additionally lim_{x \to \pm \infty} g_0 (x) = 0 holds, if (M,h(0)) has finite volume and if (N,g_N) is homogeneous, that the solution collapses, i.e. the injectivity radius goes to 0 uniformly while the curvatures stay bounded. This result also holds for the normalized (= volume preserving) Ricci flow. Next we consider Ricci flow on general complete, noncompact manifolds. Under appropriate curvature assumptions we show upper Gaussian estimates for the geometric quantities |Rm|^2, |\n Rm|^2 and |T|^2 (\n denotes the covariant derivative and T denotes the traceless Ricci tensor), if these have compact support at the initial time t=0. Applying the Gaussian estimates to the warped product manifold \R \times N yields, if the ends are hyperbolic (all sectional curvatures =k < 0) at t=0 and if N is compact, that the ends have asymptotically constant curvature -\frac{1}{2nt - \frac{1}{k}} at each fixed positive time t >0, and a quantitative estimate that measures, how much the curvatures deviate from this constant. Moreover, -\frac{1}{2nt - \frac{1}{k}} is exactly the rate, at which the curvatures go to 0 on hyperbolic space H^{n+1} under Ricci flow. Finally we show, using the behaviour of zeros of solutions of linear parabolic PDE's of second order on \R and under appropriate additional assumptions, that the ends of the warped product manifold \R \times N have negative curvature at each positive time t > 0, if they are hyperbolic at t=0.