Computation Schemes for Transfer Operators: Reasons to believe in your computational results

Abstract

The focus of this doctoral thesis is the transfer operator, a tool that describes the propagation of probability densities of an arbitrary dynamical system. This tool is usable for any moving object that one wants to analyze, and thus has applications in subjects like population statistics, the prediction of stock prices, and computational drug design. The first part of this doctoral thesis is a purely theoretical investigation of the transfer operator. Characterizations of transfer operators and adjoint transfer operators are revealed. It is shown that Markov operators and transfer operators are equivalent. Further it is shown that an adjoint operator of a transfer operator is equivalent to a generalized Koopman operator, and that an adjoint operator of a transfer operator with an invariant measure is equivalent to a Brown-Markov operator. All three characterizations are independent of a transition kernel. The last characterization is disproving a claim made in 1966. Diverse applications require a Galerkin projection of the transfer operator. Therefore, the second part of this thesis reveals possible ways of improving the computation of a Galerkin projection on an arbitrary function space. An exact formula of the error by the difference in the L2 norm between the Galerkin entry and its approximation through a Monte Carlo method is deduced for long and short-term trajectory approaches. The formula enables us to approximate the Galerkin error itself by trajectories. It is shown that the error of the Galerkin projection is dramatically reduced when using short- term trajectories instead of a single long-term trajectory. Further, a characteristic of reversible processes is discovered, which shows that reversible processes are more likely to return to set than to be there. Next, a reweighting scheme is introduced that improves available techniques for obtaining a Galerkin projection for a typical scenario that often appears in computational drug design. It is shown that the Galerkin projections for multiple, similar ligands that bind to one receptor can be computed using trajectories of just one single ligand and the corresponding weights. Computation of the weights proves more advantageous than computing the trajectories separately for each ligand. The final result presented in this thesis shows how to correct the numerical error of a Galerkin projection. This is useful for cases in which the numerical error might render the frequently employed clustering method PCCA+ to be inapplicable. It is shown that one can restore a particular property of a Galerkin projection that assures applicability of the method PCCA+. More precisely, for almost any norm and any transition matrix a closest reversible matrix exists, which can be computed by solving a strongly convex quadratic problem. Further, a norm is introduced which heavily weights transition probabilities of rare events. This norm has the property that the closest reversible matrix will preserve the spectrum. Application of the method PCCA+ was until now restricted to reversible processes. However, the correction scheme for the Galerkin projection opens the door to use of the method PCCA+ for arbitrary systems. In summary, this thesis reveals theoretical aspects of the transfer operator that are then used to derive methods to optimize and correct the computation of the Galerkin projection.

Der Fokus dieser Dissertation ist der Transferoperator. Dies ist ein Werkzeug, um die Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitsdichten eines beliebigen dynamischen Systems zu beschreiben. Dieses Werkzeug ist benutzbar für jedes bewegende Objekt, welches man analysieren möchte und hat deswegen auch Anwendungen in Bereichen wie Bevölkerungsstatistik, die Vorhersage von Aktienkursen und Wirkstoffdesign. Im ersten Teil dieser Arbeit wird gezeigt, dass Markov Operatoren und Transfer Operatoren identisch sind. Außerdem wird die Klasse der adjungierten Transfer Operatoren durch generalisierte Koopman Operatoren charakterisiert. Schließlich wird die Klasse der adjungierten Transfer Operatoren bezüglich eines invarianten Maßes durch Brown-Markov Operatoren charakterisiert. Dies widerlegt eine Behauptung aus dem Jahr 1966. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird gezeigt, wie man die Berechnung der Galerkin Projektion optimieren kann. Eine exakte Formel für den Galerkin Fehler für kurz und lang-zeit Trajektorien wird hergeleitet. Der Galerkin Fehler selbst kann durch die Formel wiederum mit Trajektorien approximiert werden. Es wurde gezeigt, dass der Fehler durch kurz-zeit Trajektorien dramatisch reduziert wird gegenüber lang-zeit Trajektorien. Eine Charakteristik von reversiblen Prozessen ist entdeckt worden, welche zeigt, dass reversible Prozesse lieber in eine Menge zurückkehren, anstatt sich in der Menge zu befinden. Abschließend wird eine Umgewichtungsstrategie eingeführt, welche die Berechnung der Galerkin Projektion optimiert. Es wird gezeigt, dass Galerkin Projektionen für mehrere, ähnliche Systeme berechnet werden können, nur durch Trajektorien von einem System und Gewichten. Es stellt sich heraus, dass die Gewichte einfacher zu berechnen sind als die Berechnung neuer Trajektorien für jedes System. Das abschließende Resultat dieser Arbeit zeigt, wie man den numerischen Fehler von einer Galerkin Projektion korrigieren kann. Dies ist sinnvoll in Fällen, in denen der numerische Fehler die häufig benutze Methode PCCA+ unanwendbar macht. Es wird gezeigt, dass man eine bestimmte Eigenschaft der Galerkin Projektion wieder herstellen kann, welche garantiert, dass die Methode PCCA+ anwendbar ist. Genauer: Es wird gezeigt, dass für jede stochastische Matrix eine am nächsten gelegene reversible stochastische Matrix existiert, welche durch ein stark konvexes Optimierungsproblem berechnet werden kann. Die Methode PCCA+ war bisher auf reversible Prozesse eingeschränkt. Mit der oben erklärten Korrekturmethode, ist PCCA+ nun für beliebige Systeme anwendbar. Insgesamt hat diese Arbeit theoretische Aspekte vom Transferoperator aufgezeigt, durch deren Kenntnis Methoden entwickelt wurden, um die Berechnung der Galerkin Projektion vom Transferoperator zu optimieren und zu korrigieren.