dc.contributor.author
Nielsen, Adam
dc.date.accessioned
2018-06-07T18:54:56Z
dc.date.available
2016-04-08T09:54:01.371Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/5557
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-9756
dc.description
Acknowledgements iii Introduction 1 1 Operators 5 1.1 Fundamentals . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Transfer
Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Related Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 23 2 Computation schemes 35 2.1 State of the Art . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Basic Computation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 The Girsanov
Reweighting Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3 Make it
Reversible 73 3.1 The Reversible Property . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 73 3.2 Finding the Closest Reversible Matrix . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Complexity and Eigenvalues . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Summary 93 Zusammenfassung 95
Bibliography 97
dc.description.abstract
The focus of this doctoral thesis is the transfer operator, a tool that
describes the propagation of probability densities of an arbitrary dynamical
system. This tool is usable for any moving object that one wants to analyze,
and thus has applications in subjects like population statistics, the
prediction of stock prices, and computational drug design. The first part of
this doctoral thesis is a purely theoretical investigation of the transfer
operator. Characterizations of transfer operators and adjoint transfer
operators are revealed. It is shown that Markov operators and transfer
operators are equivalent. Further it is shown that an adjoint operator of a
transfer operator is equivalent to a generalized Koopman operator, and that an
adjoint operator of a transfer operator with an invariant measure is
equivalent to a Brown-Markov operator. All three characterizations are
independent of a transition kernel. The last characterization is disproving a
claim made in 1966. Diverse applications require a Galerkin projection of the
transfer operator. Therefore, the second part of this thesis reveals possible
ways of improving the computation of a Galerkin projection on an arbitrary
function space. An exact formula of the error by the difference in the L2 norm
between the Galerkin entry and its approximation through a Monte Carlo method
is deduced for long and short-term trajectory approaches. The formula enables
us to approximate the Galerkin error itself by trajectories. It is shown that
the error of the Galerkin projection is dramatically reduced when using short-
term trajectories instead of a single long-term trajectory. Further, a
characteristic of reversible processes is discovered, which shows that
reversible processes are more likely to return to set than to be there. Next,
a reweighting scheme is introduced that improves available techniques for
obtaining a Galerkin projection for a typical scenario that often appears in
computational drug design. It is shown that the Galerkin projections for
multiple, similar ligands that bind to one receptor can be computed using
trajectories of just one single ligand and the corresponding weights.
Computation of the weights proves more advantageous than computing the
trajectories separately for each ligand. The final result presented in this
thesis shows how to correct the numerical error of a Galerkin projection. This
is useful for cases in which the numerical error might render the frequently
employed clustering method PCCA+ to be inapplicable. It is shown that one can
restore a particular property of a Galerkin projection that assures
applicability of the method PCCA+. More precisely, for almost any norm and any
transition matrix a closest reversible matrix exists, which can be computed by
solving a strongly convex quadratic problem. Further, a norm is introduced
which heavily weights transition probabilities of rare events. This norm has
the property that the closest reversible matrix will preserve the spectrum.
Application of the method PCCA+ was until now restricted to reversible
processes. However, the correction scheme for the Galerkin projection opens
the door to use of the method PCCA+ for arbitrary systems. In summary, this
thesis reveals theoretical aspects of the transfer operator that are then used
to derive methods to optimize and correct the computation of the Galerkin
projection.
de
dc.description.abstract
Der Fokus dieser Dissertation ist der Transferoperator. Dies ist ein Werkzeug,
um die Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitsdichten eines beliebigen dynamischen
Systems zu beschreiben. Dieses Werkzeug ist benutzbar für jedes bewegende
Objekt, welches man analysieren möchte und hat deswegen auch Anwendungen in
Bereichen wie Bevölkerungsstatistik, die Vorhersage von Aktienkursen und
Wirkstoffdesign. Im ersten Teil dieser Arbeit wird gezeigt, dass Markov
Operatoren und Transfer Operatoren identisch sind. Außerdem wird die Klasse
der adjungierten Transfer Operatoren durch generalisierte Koopman Operatoren
charakterisiert. Schließlich wird die Klasse der adjungierten Transfer
Operatoren bezüglich eines invarianten Maßes durch Brown-Markov Operatoren
charakterisiert. Dies widerlegt eine Behauptung aus dem Jahr 1966. Im zweiten
Teil dieser Arbeit wird gezeigt, wie man die Berechnung der Galerkin
Projektion optimieren kann. Eine exakte Formel für den Galerkin Fehler für
kurz und lang-zeit Trajektorien wird hergeleitet. Der Galerkin Fehler selbst
kann durch die Formel wiederum mit Trajektorien approximiert werden. Es wurde
gezeigt, dass der Fehler durch kurz-zeit Trajektorien dramatisch reduziert
wird gegenüber lang-zeit Trajektorien. Eine Charakteristik von reversiblen
Prozessen ist entdeckt worden, welche zeigt, dass reversible Prozesse lieber
in eine Menge zurückkehren, anstatt sich in der Menge zu befinden.
Abschließend wird eine Umgewichtungsstrategie eingeführt, welche die
Berechnung der Galerkin Projektion optimiert. Es wird gezeigt, dass Galerkin
Projektionen für mehrere, ähnliche Systeme berechnet werden können, nur durch
Trajektorien von einem System und Gewichten. Es stellt sich heraus, dass die
Gewichte einfacher zu berechnen sind als die Berechnung neuer Trajektorien für
jedes System. Das abschließende Resultat dieser Arbeit zeigt, wie man den
numerischen Fehler von einer Galerkin Projektion korrigieren kann. Dies ist
sinnvoll in Fällen, in denen der numerische Fehler die häufig benutze Methode
PCCA+ unanwendbar macht. Es wird gezeigt, dass man eine bestimmte Eigenschaft
der Galerkin Projektion wieder herstellen kann, welche garantiert, dass die
Methode PCCA+ anwendbar ist. Genauer: Es wird gezeigt, dass für jede
stochastische Matrix eine am nächsten gelegene reversible stochastische Matrix
existiert, welche durch ein stark konvexes Optimierungsproblem berechnet
werden kann. Die Methode PCCA+ war bisher auf reversible Prozesse
eingeschränkt. Mit der oben erklärten Korrekturmethode, ist PCCA+ nun für
beliebige Systeme anwendbar. Insgesamt hat diese Arbeit theoretische Aspekte
vom Transferoperator aufgezeigt, durch deren Kenntnis Methoden entwickelt
wurden, um die Berechnung der Galerkin Projektion vom Transferoperator zu
optimieren und zu korrigieren.
en
dc.format.extent
v, 100 Seiten
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
transfer operator
dc.subject
Markov operator
dc.subject
Galerkin projection
dc.subject
reversible Markov chains
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::515 Analysis
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
dc.subject.ddc
500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::518 Numerische Analysis
dc.title
Computation Schemes for Transfer Operators
dc.contributor.contact
mach-ich@web.de
dc.contributor.inspector
Prof. Dr. Christof Schütte
dc.contributor.inspector
Dr. Péter Koltai
dc.contributor.firstReferee
PD Dr. Marcus Weber
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. Reinhold Schneider
dc.date.accepted
2016-03-31
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-fudissthesis000000101687-0
dc.title.subtitle
Reasons to believe in your computational results
dc.title.translated
Berechnungsschemata für Transferoperatoren
de
dc.title.translatedsubtitle
Gründe, um deinen Berechnungen zu vertrauen
de
refubium.affiliation
Mathematik und Informatik
de
refubium.mycore.fudocsId
FUDISS_thesis_000000101687
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000018927
dcterms.accessRights.dnb
free
dcterms.accessRights.openaire
open access