From vulnerability formalization to finitely additive probability monads

Abstract

This dissertation consists of two parts, related in that the first part motivates the mathematical questions addressed by the second. The first part treats the concepts vulnerability (to climate change) and probability, as well as the method of formalization. Formalization is here considered to be a translation of concepts from everyday language or scientific terminologies into mathematical concepts. The result of such a formalization is a mathematical model of a concept. An advantage of using mathematical concepts is that they do not have implicit connotations. The concept probability, with its different interpretations and mathematical models, is considered as an example of formalization. A subjective probability interpretation is of interest for climate change related research because, unlike the frequentist interpretation, it makes probability applicable also in cases where long data series are not available. The subjective interpretation is presented using de Finetti's model of coherent probability assignments. Different mathematical models of probability are related to the concept itself in differing ways: de Finetti's model explains its meaning and provides a rule for measuring probabilities, whereas Kolmogorov's model mainly serves as a basis for the mathematical theory; it specifies neither meaning nor measurement of probability. All in all, the example concept probability shows that formalization is not a miracle cure against conceptual unclarity, but that it can support clarification. Conceptual clarification was one aim of a formalization of vulnerability and related concepts developed at the Potsdam Institute for Climate Impact Research. This work presents the formalization and uses it for clarifying a terminology for which the literature states a 'Babylonian confusion'. Many similar theoretical definitions of vulnerability exist, but there are different interpretations and approaches to assessing it. With the help of precise but nevertheless general mathematical definitions of vulnerability, the common structure of many definitions from the literature is verified and two assessment approaches are distinguished. Several pairs of vulnerability interpretations from the literature, as well as types of risk assessments in the context of natural hazards, are traced back to this distinction of assessment approaches. The conceptual confusion is explained by the finding that there is no one-to-one mapping from technical terms to assessment approaches, nor vice versa. Mathematics as a `lingua franca' is of limited scope in the field of vulnerability research, which is dominated by the social sciences. To provide the formalization in a more accessible format for non-mathematicians, it is also represented by diagrams. The first part of this work considers mathematics as a language, discusses formalization as translation into mathematics (using the concept probability), and translates vulnerability into this language, thus producing clarity. Finally, it discusses how mathematics can be presented in a generally agreeable manner. It can thus be considered a work about mathematics. The second part, on the other hand, is a work in mathematics in a stricter sense: it combines elements from category theory and probability theory. The mathematical model of vulnerability presented by Ionescu [2009] uses the category theoretical concepts of a functor and a monad to generically describe the uncertain future evolution of a system. Probability is one way of describing uncertainty mathematically; for probability measures in the sense of Kolmogorov's axioms a functor and monad exist, as was shown by Giry [1981]. This work establishes that also finitely additive probabilities and coherent probability assignments form functors on the category of sets and functions. Further, several monads of finitely additive probabilities are identified. This is a first step towards using these more general models of (subjective) probability in the field of vulnerability research.

Die vorliegende Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Diese sind dadurch verbunden, dass der erste Teil die mathematischen Fragen, die im zweiten Teil behandelt werden, motiviert. Gegenstand des ersten Teils sind die Begriffe Vulnerabilität (gegenüber Klimawandel) und Wahrscheinlichkeit, sowie die Methode der Formalisierung. Formalisierung wird hier als Übersetzung von Begriffen aus der Alltagssprache oder aus wissenschaftlichen Fachsprachen in mathematische Begriffe aufgefasst. Das Ergebnis einer Formalisierung ist ein mathematisches Modell des jeweiligen Begriffs. Ein Vorteil mathematischer Begriffe ist, dass diese keine impliziten Bedeutungen haben. Als Beispiel für Formalisierung wird der Begriff Wahrscheinlichkeit mit seinen verschiedenen Interpretationen und mathematischen Modellen betrachtet. Die subjektive Interpretation ist für die Klimafolgenforschung interessant, da sie sich im Gegensatz zur frequentistischen Interpretation auch anwenden lässt, wenn keine langen Messreihen von Daten zur Verfügung stehen. Diese Interpretation wird besonders im Modell der kohärenten Wahrscheinlichkeitsbewertungen von de Finetti dargestellt. Die verschiedenen Modelle von Wahrscheinlichkeit verhalten sich unterschiedlich zum Begriff selbst: de Finettis Modell erklärt den Begriff und gibt eine Messvorschrift; Kolmogorovs Modell ist vorrangig Basis für die mathematische Theorie, ohne genauer auf Bedeutung und Messung einzugehen. Insgesamt wird deutlich, dass Formalisierung kein Allheilmittel bei begrifflicher Unklarheit darstellt aber zur Klärung beitragen kann. Solch eine Klärung war ein Ziel einer Formalisierung von Vulnerabilität und verwandten Begriffen, die am Potsdam-Institut fur Klimafolgenforschung entwickelt wurde. Diese Arbeit stellt die Formalisierung vor und verwendet sie zur Begriffsklärung in einer Fachterminologie, für die die Literatur eine Babylonische Verwirrung konstatiert. Es existieren viele ähnliche theoretische Definitionen, aber verschiedene Interpretationen und Arten der Messung von Vulnerabilität. Mit Hilfe genauer und trotzdem allgemeiner mathematischer Definitionen von Vulnerabilitität werden die gemeinsame Struktur vieler Definitionen aus der Literatur nachgewiesen und zwei Typen von Vulnerabilitätsassessments unterschieden. Mehrere Paare von Interpretationen des Begriffs aus der Literatur, sowie Typen von Risikoassessments aus dem Bereich der Naturgefahren, werden auf die Unterscheidung zwischen diesen Typen zurückgeführt. Die begriffliche Verwirrung wird unter anderem dadurch erklärt, dass zwischen Fachbegriffen und Arten von Messungen eine mehr-mehr-deutige Beziehung besteht. Die Idee, die Mathematik als Lingua franca für Forscher verschiedener Disziplinen zu verwenden, zeigt sich auf dem sozialwissenschaftlich geprägten Gebiet der Vulnerabilität nur begrenzt umsetzbar. Durch Diagramme wird versucht, die Formalisierung fur Nichtmathematiker leichter zugänglich zu machen. Der erste Teil dieser Arbeit betrachtet die Mathematik als Sprache, diskutiert Formalisierung als Übersetzung in Mathematik (anhand des Begriffs Wahrscheinlichkeit), übersetzt Vulnerabilität in diese Sprache und schafft dadurch Klarheit. Schließlich diskutiert er wie man Mathematik allgemeinverträglich präsentieren kann. Damit kann dieser erste Teil als eine Arbeit über Mathematik aufgefasst werden. Der zweite Teil hingegen ist eine mathematische Arbeit im eigentlichen Sinne: er verbindet Elemente aus der Kategorientheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das mathematische Vulnerabilitäts-Modell von Ionescu [2009] verwendet die kategorientheoretischen Begriffe des Funktors und der Monade zur allgemeinen Beschreibung der ungewissen Entwicklung eines Systems. Ungewissheit wird mathematisch unter anderem durch Wahrscheinlichkeit beschrieben. Für Wahrscheinlichkeitsmaße im Sinne von Kolmogorovs Axiomen hat Giry [1981] nachgewiesen, dass diese Funktor und Monade bilden. Hier wird gezeigt, dass auch die allgemeineren mathematischen Modelle der endlich additiven Wahrscheinlichkeit und der kohärenten Wahrscheinlichkeitsbewertungen Funktoren über der Kategorie von Mengen und Funktionen sind. Für endlich additive Wahrscheinlichkeit werden außerdem mehrere Monaden identifiziert. Dies bildet einen ersten Schritt zur Anwendbarkeit der allgemeineren Modelle (subjektiver) Wahrscheinlichkeit auf dem Gebiet der Vulnerabilität.