Critical and supercritical singular S(P)DEs: A probabilistic approach

Abstract

This thesis studies singular stochastic (partial) differential equations in particular in the scaling-critical and -supercritical regime.

In the first chapter, we show well-posedness of energy solutions to stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian motion and supercritical distributional drifts, both in the periodic setting and on the full space. Energy solutions are certain martingale problems which describe singular stochastic partial differential equations (SPDEs) and we employ this theory in the finite-dimensional setting to show existence of solutions. We further analyze the corresponding Kolmogorov backward equation (KBE) via PDE and semigroup techniques and use an interplay between the regularities of the KBE and the process to establish Markov duality between these two objects and thus well-posedness. In this way, we also extend the theory of energy solutions by generalizing the structure of the underlying equation in several directions and by weakening the notion of solution. Moreover, we show more properties on -or related to- energy solutions: We prove resolvent bounds for the generator, derive weak convergence rates for approximations and analyze the regularity of the occupation time measure of the solution.

In the second chapter we develop a well-posedness framework for solutions to certain critical singular SPDEs. We first analyze the regularity of KBEs in an abstract Hilbert space setting from the PDE and semigroup perspective. Then, we introduce the martingale problem for cylinder functions, which is closely related to energy solutions, in a slightly less abstract setting and provide a general uniqueness result. We apply this theory to show well-posedness of such solutions to fractional stochastic surface quasi-geostrophic equations and fractional stochastic Burgers equations, both in the critical and full subcritical regimes and we analyze certain infinite-dimensional SDEs with infinite interaction. Also in the SPDE case we generalize the usual equational structure and setting of energy solutions. Moreover, we derive further interesting properties such as the non-Gaussianity of solutions at stationarity, certain regularity of the law of the solution and the resolvent coming from scaling-invariance and existence of Markovian solutions in the supercritical regime. In a rather independent part of the chapter we also provide a partially alternative proof of a recent weak coupling result for the anisotropic Kardar-Parisi-Zhang equation in two dimensions.

Diese Arbeit untersucht singuläre stochastische (partielle) Differentialgleichungen, ins- besondere im skalen-kritischen und -superkritischen Regime.

Im ersten Kapitel zeigen wir Wohlgestelltheit von Energie-Lösungen stochastischer Differentialgleichungen (SDG), die von Brownscher Bewegung und superkritischen distributionellen Driften getrieben werden, sowohl im periodischen Fall, als auch auf dem ganzen Raum. Energie-Lösungen sind gewisse Martingallösungen, welche singuläre stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDGs) beschreiben und wir wenden die entsprechende Theorie im endlichdimensionalen Fall an, um Existenz von Lösungen zu zeigen. Darüber hinaus analysieren wir die zugehörige Kolmogorov Rückwärtsgleichung (KRG) aus dem Blickwinkel der Theorie der partiellen Differentialgleichungen (PDG) und der Halbgruppentheorie und nutzen ein Zusammenspiel der Regularitäten der KRG und des Prozesses um Markov-Dualität dieser beiden Objekte und somit Wohlgestelltheit zu etablieren. Auf diese Weise erweitern wir auch die Theorie der Energielösungen, indem wir die Struktur der zugrundeliegenden Gleichung in verschiedene Richtungen verallgemeinern und den Lösungsbegriff abschwächen. Ausserdem zeigen wir weitere Eigenschaften von - oder mit Bezug auf - Energielösungen: Wir zeigen Resolventenschranken für den Generator, leiten schwache Konvergenzraten für Näherungen her und analysieren die Regularität des Besetzungszeitmasses der Lösung.

Im zweiten Kapitel entwickeln wir ein Rahmenwerk für Wohlgestelltheit von Lösungen gewisser kritischer singulärer SPDGs. Wir analysieren zuerst die Regularität von KRGs in abstrakten Hilberträumen aus dem Blickwinkel der PDG- und der Halbgruppentheorie. Dann führen wir ein etwas weniger abstrakt formuliertes Martingalproblem für Zylinderfunktionen ein und zeigen ein allgemeines Eindeutigkeitsresultat. Wir wenden diese Theorie an, um Wohlgestelltheit solcher Lösungen für fraktionale stochastische quasigeostrophische Gleichungen und fraktionale stochastische Burgers Gleichungen im kritischen und subkritischen Fall zu zeigen und wir analysieren unendlichdimensionale SDGs mit gewissen unendlichen Interaktionstermen. Auch im SPDG-Fall verallgemeinern wir die übliche Gleichungsstruktur und das Szenario der Energielösungen. Darüber hinaus leiten wir weitere interessante Eigenschaften her wie etwa gewisse Regularitätseigenschaften der Verteilung der Lösung und der Resolvente ausgehend von der Skaleninvarianz des Systems, die Existenz Markovscher Lösungen im superkritischen Regime und wir zeigen, dass stationäre Lösungen im Allgemeinen keine Gaussschen Prozesse sind. In einem etwas unabhängigen Teil des Kapitels geben wir auch einen teilweise eigenständigen Beweis eines kürzlich bewiesenen schwachen Kopplungsresultats für die anisotrope Kardar-Parisi-Zhang Gleichung in zwei Dimensionen.