Some deformations of T-varieties

Abstract

The topic of this thesis are deformations of normal affine varieties with torus action. Following Altmann and Hausen, such varieties can be described using polyhedral divisors. Another central ingredient is a certain class of deformations of toric varieties as constructed by Altmann. The text is organized as follows. After summarizing relevant aspects of the theory of p-divisors and T-varieties, we develop the technical tool of so-called upgrades of p-divisors. This involves a translation of extensions of torus actions into the language of p-divisors. The proof of the main upgrade theorem is the result of joint work with Nathan Ilten. This is followed by a summary of relevant parts of deformation theory. This part includes the definition of Altmann's toric deformations and a proof that the vector space T¹ of a T-variety admits a natural grading. Then, we construct invariant deformations of rational T-varieties of complexity one that arise from Minkowski decompositions of coefficient polyhedra. These can be thought of as moving points on the projective line, where coefficients are summed up when such points meet. We show that this class of deformations encompasses Altmann's toric deformations. An upgrade of the resulting p-divisors yields a description of these deformations as T-varieties of lower complexity. Finally we turn to first order deformations. Besides an explicit description of the vector space operations on the graded T¹, we develop an approach to toric T¹ that describes deformations of toric varieties with certain concave functions to C×Z.

Diese Arbeit befasst sich mit Deformationen normaler affiner Varietäten mit Toruswirkung. Solche Varietäten lassen sich durch polyedrische Divisoren beschreiben, wie von Altmann und Hausen gezeigt wurde. Wesentliche Objekte sind weiterhin gewisse Deformationen torischer Varietäten, die durch Altmann konstruiert wurden. Der Text gliedert sich wie folgt. Zunächst werden relevante Aspekte der Theorie der p-Divisoren und T-Varietäten zusammengefasst. Danach wird das technische Mittel der sogenannten Upgrades von p-Divisoren entwickelt. Dabei geht es darum, die Erweiterung einer Toruswirkung in der Sprache der p-Divisoren nachzuvollziehen. Hierbei handelt es sich um ein Ergebnis, dessen Beweis gemeinsam mit Nathan Ilten entstand. Daraufhin werden Begriffe der Deformationstheorie und die oben erwähnten torischen Deformationen Altmanns eingeführt. In diesem Zusammenhang wird auch gezeigt, dass der Vektorraum T¹ jeder T-Varietät eine Gradierung zulässt. Im Anschluss werden invariante Deformationen rationaler T-Varietäten der Komplexität eins konstruiert, die durch Zerlegung der Koeffizienten in Minkowskisummanden entstehen. Diese kann man auch als Verschiebung von Punkten auf der projektiven Geraden auffassen, wobei sich die polyedrischen Koeffizienten beim Aufeinandertreffen von Punkten addieren. Es wird gezeigt, dass diese Deformationen Altmanns torische Deformationen umfassen. Danach wird ein Upgrade der entsprechenden p-Divisoren durchgeführt, das eine Beschreibung als T-Varietäten niedrigerer Komplexität zulässt. Schließlich wird auf infinitesimale Deformationen erster Ordnung eingegangen. Neben einer expliziten Beschreibung der Vektorraumoperationen auf T¹ wird ein konvex- geometrischer Ansatz zur Beschreibung des torischen T¹ entwickelt, der Deformationen torischer Varietäten durch gewisse konkave Funktionen nach C×Z darstellt.