Systems biology is located at the intersection of biology, computer science, and mathematics, and is based on the translation of biological systems into math- ematical models. It aims to predict the behavior of these biological systems to improve the efficiency of time- and cost-intensive research in laboratories. In this thesis, we focus on the description and understanding of metabolic networks at steady state. These networks are mathematical models of the metabolic processes inside a cell. The stoichiometric and thermodynamic constraints that must hold in a metabolic network at steady-state define the steady-state flux cone. An im- portant concept to analyze flux cones in a mathematically and biologically meaningful way are elementary flux modes, which can be considered as mini- mal functional units of metabolic networks. In the flux cone, elementary flux modes correspond to vectors with inclusionwise minimal support. We focus on geometric aspects of flux cones of metabolic networks and elementary flux modes. The number of elementary flux modes may be very large, even for medium-sized metabolic networks. We study the facial structure and investigate the distribution of elementary flux modes among the faces of the flux cone. We observe that they are primarily contained in faces of relatively low dimension. Due to this observation, we develop a method to enumerate subsets of elementary flux modes that are contained in a specific face of the flux cone and apply this to decompositions of flux vectors. Empirically, we observed that elementary flux modes can always be written as a positive sum of exactly two others. Motivated by this, we investigate decompositions of elementary flux modes into others and discuss a conjecture that claims each EFM can always be decomposed into exactly 2 others or is not decomposable at all. Our mathematical results are illustrated on real examples and the presented data can be reproduced with a Python package we developed.
Systembiologie befindet sich an der Schnittstelle von Biologie, Informatik und Mathematik und basiert auf der mathematischen Modellierung biologischer Systeme. Ziel ist es, das Verhalten biologischer Systeme vorherzusagen, um zeit- und kostenintensive Forschungsarbeiten im Labor effizienter zu gestalten. In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf die Beschreibung und das Verständnis von metabolischen Netzwerken, welche die metabolischen Prozesse in einer Zelle modellieren. Die stöchiometrischen und thermodynamischen Bedingungen, die in einem metabolischen Netzwerk im stationären Zustand gelten, definieren den stationären Flusskegel. Ein wichtiges Konzept zur Analyse dieser Flusskegel auf mathematisch und biologisch sinnvolle Weise sind elementare Flussmodi, die als minimale funktionelle Einheiten von metabolischen Netzwerken betrachtet werden können. Sie entsprechen Vektoren mit inklusionsweise minimaler Trägermenge im Flusskegel. Wir konzentrieren uns auf die geometrischen Aspekte von Flusskegeln metabolischer Netzwerke und elementarer Flussmodi. Die Anzahl der elementaren Flussmodi kann schon für mittelgroße metabolische Netzwerke sehr groß sein. Wir untersuchen die Struktur der Seiten und die Verteilung der elementaren Flussmodi auf die Seiten des Flusskegels und beobachten, dass diese hauptsächlich in Seiten relativ niedriger Dimensionen enthalten sind. Mit dieser Beobachtung entwickeln wir eine Methode zur Aufzählung von Teilmengen elementarer Flussmodi, nämlich denen, die in einer bestimmten Seite des Flusskegels enthalten sind und wenden dies auf Zerlegungen von Flussvektoren an. Dabei haben wir beobachtet, dass zerlegbare elementare Flussmodi immer eine positive Summe von genau 2 anderen waren. Darauf basierend kommen wir zu der Vermutung, dass dies immer der Fall ist. Wir disktutieren Ansätze diese Vermutung zu beweisen und sie zu widerlegen. Darüber hinaus stellen wir ein Python-Softwarepaket vor, dass die Daten, die wir verwendet haben um unsere theoretischen Ergebnisse zu veranschaulichen, reproduzieren kann.
