Parameterization and tiling of polyhedral surfaces

Abstract

The thesis addresses the problem of parameterizing simplicial surfaces, i.e. finding a map from the surface into the plane. The parameter lines should align to given frame fields, such as principal curvature directions on the surface. Frame fields are multi-valued functions. In this thesis the equivalence of a frame field to a (single-valued) vector field on a Riemannian surface is shown. This observation lays the theoretical foundation for the QuadCover algorithm. QuadCover automatically generates a global parameterization of an arbitrary two-dimensional polyhedral manifold. The resulting parameter lines form a mesh which is globally continuous and allows to remesh the surface into a mesh of high quality. The faces of the mesh consist of either quadrilaterals, triangles or hexagons. Another application of QuadCover is texturing. The parameterization is used to cover the surface with an arbitrary tileable pattern. Thereby, the parameterization must be compatible with the rotational symmetry of the texture pattern. This thesis presents a method for tiling a surface with regular quadrilateral-, hexagonal-, triangular-, or stripe-patterns. Often, a user has special demands on a parameterization which makes it necessary for the user to interact with the parameterization software. QuadCover allows to move singularities on the surface. Furthermore, the user can specify curves on the surface as geometric constraint, which means that a parameter line will exactly follow the given curve. There are also combinatorial constraints which allow to manipulate the topology of the generated mesh.

Die vorgelegte Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Parametrisierung von simplizialen Flächen, d.h. deren Abbildung in die Ebene. Dabei sollen sich die Parameterlinien an vorgegebenen Richtungsfeldern orientieren, häufig den Hauptkrümmungsrichtungen der Fläche. Richtungsfelder sind mehrwertige Funktionen. In dieser Arbeit wird die Äquivalenz zu einem (ein-wertigen) Vektorfeld auf einer Riemannschen Fläche gezeigt und damit die theoretische Grundlage für das QuadCover-Verfahren gelegt. QuadCover generiert automatisch globale Parametrisierungen von beliebigen zweidimensionalen polyedrischen Mannigfaltigkeiten. Das resultierende Gitter aus Parameterlinien ist global stetig und erlaubt eine Neuvernetzung der Fläche in ein hochqualitatives Netz aus reinen Vierecken, Dreiecken oder Sechsecken. Eine weitere Anwendung von QuadCover ist das Texturieren von Oberflachen. Diese kann mit beliebigen kachelbaren Mustern überzogen werden. Dabei muss die Parametrisierung mit der Rotationssymmetrie des Musters kompatibel sein. In der Arbeit wird gezeigt, wie mithilfe von QuadCover eine Fläche mit Vierecks-, Sechsecks-, Dreiecks- oder Streifenmuster gekachelt werden kann. Ein Benutzer hat häufig spezielle Vorstellungen an eine gute Parametrisierung, so dass es notwendig ist, dass der Benutzer in den Parametrisierungsprozess eingreifen kann. QuadCover ermöglicht das manuelle Platzieren und Verschieben von Singularitäten auf der Fläche. Desweiteren können Kurven auf der Fläche vorgegeben werden, die geometrische Nebenbedingungen definieren, d.h. die Parametrisierung richtet sich exakt an der gegebenen Kurve aus. Ausserdem kann durch Vorgabe von kombinatorischen Nebenbedingungen Einfluss auf die Netztopologie genommen werden.