Some main non-local boundary value problems are studied for elliptic- hyperbolic type equations with non-smooth lines of changing type and with spectral parameter in a quarter circle and a quarter ring domain. The investigated problems equivalently reduced to a system of integral and sometimes integro-differential equations. In solving the obtained systems methods from the theory of partial differential equations, spectral theory of linear operators, theory of singular integral equations, methods of complex analysis, the energy integral, and also the extremal principle are applied. For finding a system of eigenfunctions the method of separation of variables is used. The following new results are obtained: 1\. Conditions are found for the complex parameter λ, ensuring uniqueness of the solution of the considered problems. Further, in the plane of the complex parameter a domain of values λ is given, outside of which the considered non-local problems can have eigenvalues. 2\. Sufficient conditions are found for uniqueness and existence of solutions of the formulated problems. 3\. Eigenvalues and corresponding eigenfunctions are found for one of the most general mixed problem, in which the third boundary condition on the boundary of the elliptic part of the mixed domain is given, and for the hyperbolic part a non-local condition is given by some integral operator. Moreover, the completeness of eigenfunctions are proved in the class L2. 4\. A new method is developed to prove the existence of the solution of the considered problem, by applying eigenfunctions in evident form as solutions of the formulated problem in the case, when the theorem of uniqueness of the solution of the considered problem is given.
Wesentliche nichtlokale Randwertprobleme werden für elliptisch-hyperbolische Gleichungen mit Spektralparameter im Viertelkreis und Viertelring untersucht, wobei der Gleichungstyp sich auf einer nicht glatten Kurve ändert. Die Probleme werden auf äquivalente Systeme von Integral- und gelegentlich Integrodifferentialgleichungen überführt. Methoden für partielle Differentialgleichungen, aus der Spektraltheorie linearer Operatoren, der Theorie der singulären Integralgleichungen, der komplexen Analysis, das Energieintegral und auch das Extremalprinzip werden zur Lösung des erhaltenen Systems angewandt. Zum Auffinden eines Systems von Eigenfunktionen wird die Methode der Trennung der Variablen verwandt. Folgende neue Ergebnisse werden erzielt: 1\. Für den komplexen Parameter λ werden Bedingungen angegeben, die die Eindeutigkeit der Lösung sichern. Außerdem wird in der komplexen Ebene ein Gebiet für den Parameter λ angegeben, außerhalb dessen die untersuchten nichtlokalen Probleme Eigenwerte haben können. 2\. Für Eindeutigkeit und Existenz der Lösungen werden hinreichende Bedingungen formuliert. 3\. Eigenwerte und zugehörige Eigenfunktionen werden für eines der allgemeinen gemischten Probleme gefunden, in dem auf dem Rand des elliptischen Teilgebiets die dritte Randbedingung und für den hyperbolischen Teil mittels Integraloperatoren ausgedrückte nichtlokale Bedingungen gegeben sind. Außerdem wird die Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen im Raum L2 bewiesen. 4\. Eine neue Methode zum Existenzbeweis für die Lösungen des betrachteten Problems wird entwickelt, indem Eigenfunktionen in offensichtlicher Form als Lösungen des formulierten Problems in dem Fall angewandt werden, in dem die Eindeutigkeit der Lösung des Problems gegeben ist.
