Enharmonic motion: Towards the global dynamics of negative delayed feedback

Abstract

In this thesis, we establish a new method for describing the qualitative dynamics of the so-called Hopf-Smale attractors in scalar delay differential equations with symmetric negative delayed feedback.

The dynamics of Hopf-Smale attractors are robust under regular perturbations. Qualitatively, the attractor consists of an equilibrium, periodic orbits, and connections between them. We describe the mechanism that produces the periodic orbits and show how their formation creates new connecting orbits via sequences of Hopf bifurcations. As a result, we obtain an enumeration of all the phase diagrams, that is, the directed graphs encoding the equilibrium and periodic orbits as vertices and the connections as edges.

In particular, we have obtained a prototype, the so-called enharmonic oscillator, that realizes all Hopf-Smale phase diagrams. Besides describing the Hopf-Smale attractors, our method also sheds insight into the formation process of certain global attractors with positive delayed feedback.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Beschreibung der qualitativen Dynamik der sogenannten Hopf-Smale-Attraktoren in skalaren retardierten Differentialgleichung mit symmetrischer negativer verzögerter Rückkopplung entwickelt.

Die Dynamik von Hopf-Smale-Attraktoren ist robust gegenüber regelmäßigen Störungen. Qualitativ besteht der Attraktor aus einem Gleichgewicht, periodischen Orbits und Orbits zwischen diesen. Wir beschreiben den Mechanismus, der die periodischen Orbits erzeugt und zeigen, wie dieser neue verbindende Orbits über Sequenzen von Hopf-Bifurkationen erzeugt. Als Ergebnis erhalten wir eine Aufzählung aller Phasendiagramme, d.h. der gerichteten Graphen, die die Gleichgewichts- und periodischen Bahnen als Knoten und die Verbindungen als Kanten kodieren.

Insbesondere haben wir einen Prototyp, den sogenannten enharmonischen Oszillator, gefunden, der alle Hopf-Smale-Phasendiagramme verwirklicht. Neben der Beschreibung der Hopf-Smale-Attraktoren gibt unsere Methode auch Aufschluss über den Entstehungsprozess bestimmter globaler Attraktoren mit positiver verzögerter Rückkopplung.