dc.contributor.author
Hingst, Hans-Ulrich
dc.date.accessioned
2018-06-07T17:22:13Z
dc.date.available
2003-08-15T00:00:00.649Z
dc.identifier.uri
https://refubium.fu-berlin.de/handle/fub188/3756
dc.identifier.uri
http://dx.doi.org/10.17169/refubium-7956
dc.description
Titelblatt und Inhalt
Einleitung und Zusammenfassung
Vorbemerkungen zur Notation
I. Zur Abhängigkeit der Stichprobenvariablen beim Ziehen ohne Zurücklegen aus
einer Grundgesamtheit mit endlich vielen Objekten gleicher Auswahlchance
1\. Einführung
2\. Entwicklung einer Ungleichung
3\. Ergänzungen
II. Die Abschätzung der maximalen relativen Häufigkeit einer
Häufigkeitsverteilung
1\. Einführung
2\. Die Darstellung der maximalen relativen Häufigkeit ( λN / N )
3\. Die Abschätzung von ( λN / N )
III. Anmerkungen zu einem Bootstrap-Grenzwertsatz
1\. Einführung
2\. Bootstrap-Variablen und -Verteilung
3\. Vorbereitungen für den Grenzwertsatz
4\. Ein Bootsrap-Grenzwertsatz
5\. Anmerkungen zum Grenzwertsatz
Literaturverzeichnis
dc.description.abstract
Im I.Kapitel wird eine Grundgesamtheit ΩN betrachtet, die aus N Objekten
gleicher Auswahlchance besteht. Untersucht wird ein reellwertiges Merkmal X ,
welches N Beobachtungswerte liefert, von denen m paarweise verschieden sind.
Mit λN wird die maximale absolute Häufigkeit der m paarweise verschiedenen
X-Werte bezeichnet. Aus ΩN wird eine Stichprobe vom Umfang n durch Ziehen ohne
Zurücklegen entnommen. Der Satz I.1 liefert eine Schranke B(n, N, λN / N ),
die den Euklidischen Abstand zwischen den gemeinsamen
Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Stichprobenvariablen beim n-maligen Ziehen
ohne bzw. mit Zurücklegen aus ΩN nach oben abschätzt. Eine Vor-Version dieser
Abschätzung wurde vom Autor bereits auf der Internationalen Tagung der
Deutschen Statistischen Gesellschaft im Jahre 2000 vorgestellt.
Die Abschätzung gilt bei jeder Skalierung von X sowie für variables m = m (N).
Die Abschätzung ist scharf, denn für die Klasse der auf ΩN bijektiven Merkmale
(m=N) gilt das Gleichheitszeichen - in diesem Fall ist der o.g. Euklidische
Abstand der Wahrscheinlichkeitsfunktionen gerade der Vergleich der
Auswahlwahrscheinlichkeiten von n Objekten zwischen dem Ziehen ohne und dem
Ziehen mit Zurücklegen aus ΩN. Als Folgerung aus der Abschätzung lassen sich
zwei Grenzwertsätze formulieren:
(i) Gleichmäßige Konvergenz des o.g. Euklidischen Abstandes der
Wahrscheinlichkeitsfunktionen gegen Null mit wachsendem N (zu festem n), wobei
m = m (N) variieren darf.
(ii) Gleichmäßige Konvergenz des Euklidischen Abstandes zwischen den
Wahrscheinlichkeitsfunktionen der m-dimensionalen Hypergeometrischen
Verteilung und der m-fachen Multinomialverteilung gegen Null mit wachsendem N
, wobei m = m (N) variieren darf.
Beide Mindest-Konvergenzgeschwindigkeiten betragen O (1/N).
Im Vergleich mit diesbezuglichen Ergebnissen von Feller (1950 und später)
sowie Johnson/Kotz/Balakrishnan (1997) erreicht der Autor eine Verbesserung
und Verallgemeinerung.
Im II.Kapitel wird die maximale relative Häufigkeit ( λN / N ) abgeschätzt
unter gewissen Voraussetzungen, unter denen sich eine Beziehung zur Kolmogorov
/ Smirnov - distance IDN nutzen läßt; IDN := supt | IFN ( t ) - F ( t ) | mit
der Empirischen Verteilungsfunktion IFN und deren fast sicherer Grenzfunktion
F. Durch Anwendung von DKW-Ungleichung bzw. Smirnov-LIL auf die Abschätzung
von IDN erhält man verschiedene Versionen der Abschätzung von ( λN / N ). Es
wird gezeigt, dass unter bestimmten Voraussetzungen ( λN / N ) gegen die
maximale Sprunghöhe von F konvergiert.
Im III. Kapitel wird eine der tragenden Voraussetzungen des Bootstrap-
Grenzwertsatzes von Strobl (1995) näher betrachtet: Die Integral-Darstellung
eines gewissen Frechet-Differentials. Durch Zerlegung des Maßraumes \W wird
gezeigt, wann diese Voraussetzung erfüllt ist, wenn die zugrundeliegende Norm
in \W auf einem speziellen Funktionenraum basiert. Das Ergebnis enthält als
Sonderfall ein diesbezuglich von Serfling (1981) angegebenes Resultat.
de
dc.description.abstract
In the 1st chapter we look at a set ΩN , that consists of N objects with the
same choice probability, respectively. We investigate a real feature X , which
provides N values, within m pairwise distinct values; λN is the maximum of the
absolute frequencies of the m values. We draw a random sample out of ΩN of
size n without replacement. Theorem I.1 provides a bound B(n, N, λN / N ) ;
this bound estimates the Euclidean distance between the joint probability
functions of the sample variates at n-fold drawing with andm without
replacement out of ΩN to the top. A pre-version of this estimation we've
proposed at the International Congress of the Deutsche Statistische
Gesellschaft in 2000 already. The estimation may be used for every scaling of
X and for varying m = m (N) . The estimation is sharp, since for the class of
those X that are mapping ΩN bijectively (m=N) , the equation sign is true - in
this case the Euclidean distance of the joint probability functions (see
above) is even the Euclidean distance of the choice probabilities of n objects
between drawing with and without replacement out of ΩN.
Corollaries from the estimation are formulations of two limit theorems:
(i) Uniform convergence of the Euclidean distance of the joint probability
functions (see above) against zero with increasing N , permitting varying m =
m (N).
(ii) Uniform convergence of the Euclidean distance between the probability
functions of the m-dimensional Hypergeometric distribution and the m-variate
Multinomialdistribution against zero with increasing N , permitting varying m
= m (N).
The convergence order of both limits is O(1/N) at least.
In comparison with related results by Feller (1950 and later) and
Johnson/Kotz/Balakrishnan (1997) we obtain better and more generalized
statements.
In the 2nd chapter we estimate the max. relative frequency (λN /N) under some
conditions, that enable us to use the Kolmogorov / Smirnov - distance IDN ,
IDN := supt | IFN ( t ) - F ( t ) | with the empirical distribution function
IFN and her almost sure limit function F . Applying the DKW-inequality or the
Smirnov-LIL to the estimation of IDN , we get some different versions of the
estimation of (λN /N). We show that, under some conditions, (λN /N) tends to
the maximally jump of F.
In the 3rd chapter we are concerned with a fundamental requirement of the
Bootstrap limit theorem of Strobl (1995): The integral representation of a
particular Frechet differential. The concept of a decomposition of the measure
space \W allows us to give the conditions, under which this requirement is
filled, for a norm in \W indexed by a special function space.
The proved result includes a relevant result to this of Serfling (1981) as a
special case.
en
dc.rights.uri
http://www.fu-berlin.de/sites/refubium/rechtliches/Nutzungsbedingungen
dc.subject
Degree of dependence of sample variates
dc.subject
uniform convergence of the Euclidean distance of the m-dimensional Hypergeometric distribution and the m-variate Multinomial distribution against zero when the number of pairwise distinct values m = m (N) may vary
dc.subject
maximum of the relative frequencies
dc.subject
maximum of the jumps of a distribution function
dc.subject
Bootstrap limit theorem
dc.subject
representation of a Fréchet differential of a statistical functional
dc.subject
decomposition of a particular space of probability measures.
dc.subject.ddc
300 Sozialwissenschaften::300 Sozialwissenschaften, Soziologie::300 Sozialwissenschaften
dc.title
Beiträge zur Stichproben-Theorie und Anmerkungen zu einem Bootstrap-
Grenzwertsatz
dc.contributor.firstReferee
Prof. Dr. H. Skarabis
dc.contributor.furtherReferee
Prof. Dr. J. Gordesch
dc.date.accepted
2003-07-17
dc.date.embargoEnd
2003-08-18
dc.identifier.urn
urn:nbn:de:kobv:188-2003002019
dc.title.translated
Contributions to the random sample theory and remarks to a Bootstrap limit
theorem
en
refubium.affiliation
Politik- und Sozialwissenschaften
de
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FUDISS_thesis_000000001037
refubium.mycore.transfer
http://www.diss.fu-berlin.de/2003/201/
refubium.mycore.derivateId
FUDISS_derivate_000000001037
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open access