Efficient Riemannian Statistical Shape Analysis with Applications in Disease Assessment

Abstract

In this work, we address the challenge of developing statistical shape models that account for the non-Euclidean nature inherent to (anatomical) shape variation and at the same time offer fast, numerically robust processing and as much invariance as possible regarding translation and rotation, i.e. Euclidean motion. With the aim of doing that we formulate a continuous and physically motivated notion of shape space based on deformation gradients. We follow two different tracks endowing this differential representation with a Riemannian structure to establish a statistical shape model. (1) We derive a model based on differential coordinates as elements in GL(3)+. To this end, we adapt the notion of bi-invariant means employing an affine connection structure on GL(3)+. Furthermore, we perform second-order statistics based on a family of Riemannian metrics providing the most possible invariance, viz. GL(3)+-left-invariance and O(3)-right-invariance. (2) We endow the differential coordinates with a non-Euclidean structure, that stems from a product Lie group of stretches and rotations. This structure admits a bi-invariant metric and thus allows for a consistent analysis via manifold-valued Riemannian statistics. This work further presents a novel shape representation based on discrete fundamental forms that is naturally invariant under Euclidean motion, namely the fundamental coordinates. We endow this representation with a Lie group structure that admits bi-invariant metrics and therefore allows for consistent analysis using manifold-valued statistics based on the Riemannian framework. Furthermore, we derive a simple, efficient, robust, yet accurate (i.e. without resorting to model approximations) solver for the inverse problem that allows for interactive applications. Beyond statistical shape modeling the proposed framework is amenable for surface processing such as quasi-isometric flattening. Additionally, the last part of the thesis aims on shape-based, continuous disease stratification to provide means that objectify disease assessment over the current clinical practice of ordinal grading systems. Therefore, we derive the geodesic B-score, a generalization of the of the Euclidean B-score, in order to assess knee osteoarthritis. In this context we present a Newton-type fixed point iteration for projection onto geodesics in shape space. On the application side, we show that the derived geodesic B-score features, in comparison to its Euclidean counterpart, an improved predictive performance on assessing the risk of total knee replacement surgery.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Herausforderung der Entwicklung statistischer Formmodelle, welche die inhärente nichteuklidische Struktur (anatomischer) Formvariation berücksichtigen, gleichzeitig eine effiziente, numerisch robuste Verarbeitung erlauben und zusätzlich möglichst viel Invarianz unter euklidischen Bewegungen der verwendeten Daten bieten. Dazu schlagen wir einen kontinuierlichen und physikalisch motivierten Formenraum basierend auf Deformationsgradienten vor. Wir verfolgen zwei verschiedene Ansätze, um auf diesem eine Riemannsche Struktur und damit ein statistisches Formmodell zu etablieren. (1) Wir entwickeln ein Modell für die differentiellen Koordinaten als Elemente in GL(3)+. Zu diesem Zweck adaptieren wir den Begriff des biinvarianten Mittelwerts bezüglich eines affinen Zusammenhanges auf GL(3)+ und führen Statistik zweiter Ordnung basierend auf einer Familie maximal invarianter, d.h. GL(3)+-links- und O(3)-rechts-invarianter, Riemannscher Metriken durch. (2) Wir versehen die differentiellen Koordinaten mit einer nichteuklidischen Struktur, die angelehnt an die Lie-Produktgruppe aus Streckungen und Rotationen ist. Diese lässt eine biinvariante Metrik und damit eine konsistente Analyse mittels mannigfaltigkeitswertiger Statistik im Riemannschen Rahmen zu. Die vorliegende Arbeit präsentiert überdies die fundamentalen Koordinaten, eine neue Formrepräsentation basierend auf diskreten Flächenfundamentalformen, welche auf natürliche Weise invariant unter euklidischen Bewegungen ist. Wir versehen diese Repräsentation mit einer Lie-Gruppenstruktur, die eine biinvariante Metrik und somit Riemannsche Statistik erlaubt. Darüber hinaus entwickeln wir einen einfachen, effizienten, robusten, sowie akkuraten (d.h. ohne Rückgriff auf Modellapproximationen) Löser für die Rückabbildung von den Koordinaten zur Form im Raum. Neben der statistischen Formanalyse erlaubt der beschriebene Ansatz auch Anwendungen in der Geometrieverarbeitung, insbesondere zur quasi-isometrischen Oberflächenverflachung. Der letzte Abschnitt der Arbeit befasst sich mit der Entwicklung kontinuierlicher formbasierter Erkrankungsstratifikationen, um die Krankheitsbewertung über die aktuelle klinische Praxis ordinaler Bewertungssysteme hinaus zu objektivieren. Hierzu entwickeln wir den geodesic B-score in gekrümmten Formenräumen zur Bewertung von Kniegelenksarthrose als Generalisierung des euklidischen B-scores. In diesem Rahmen beschreiben wir eine Newton-Typ-Fixpunktiteration zur Bestimmung der Projektion auf Geodätische im Formenraum. Als Anwendung zeigen wir, dass der geodätische B-score gegenüber seinem euklidischen Gegenstück eine verbesserte Vorhersageleistung hinsichtlich der Risikobewertung bezüglich einer totalen Kniearthroplastie besitzt.