Non-stationary Transition Path Theory with applications to tipping and agent-based models

Abstract

The interesting dynamical regimes in agent-based models (ABMs) of social dynamics are the transient dynamics leading to metastable or absorbing states, and the transition paths between metastable states possibly caused by external influences. In this thesis, we are particularly interested in the pathways of rare and critical transitions such as the tipping of the public opinion in a population or the forming of social movements. For a detailed quantitative analysis of these transition paths, we consider the agent-based models as Markov chains and employ Transition Path Theory. Since ABMs are usually not considered in stationarity and possibly even forced, we generalize Transition Path Theory to time-dependent dynamics, for example on finite-time intervals or with periodically varying transition probabilities. We also specifically consider the case of dynamics with absorbing states and show how the transitions prior to absorption can be studied. These generalizations can also be useful in other application domains such as for studying tipping in climate models or transitions in molecular models with external stimuli. Another obstacle when analysing the dynamics of agent-based models is the large number of agents resulting in a high-dimensional state space for the model. However, the emergent dynamics of the ABM usually has significantly fewer degrees of freedom and many symmetries enabling a model reduction. On the example of two stationary ABMs we demonstrate how a long model simulation can be employed to find a lower-dimensional parametrization of the state space using a manifold learning algorithm called Diffusion Maps. In the considered models, agents adapt their binary behaviour to the local neighbourhood. When the interaction network consists of several densely connected communities, the dynamics result in a largely coherent behaviour in each community. The low-dimensional structure of the state space is therefore a hypercube. The corners represent metastable states with coherent agent behaviour in each group and the edges correspond to transition paths where agents in a community change their behaviour through a chain reaction. Finally, we can apply Transition Path Theory to the effective dynamics in the reduced space to reveal, for example, the dominant transition paths or the agents that are most indicative of an impending tipping event.

Die interessanten dynamischen Regime in agentenbasierten Modellen sind einerseits die Transienten die zu metastabilen oder absorbierenden Zuständen führen, und andererseits die Übergangsdynamiken zwischen metastabilen Zuständen. Wir interessieren uns in dieser Arbeit insbesondere für die kritischen und seltenen Übergänge wie zum Beispiel das Umkippen der öffentlichen Meinung oder die Bildung von sozialen Bewegungen. Diese Übergangsdynamiken wollen wir in agentenbasierten Modellen, die wir hier als Markov Ketten betrachten, mithilfe von Transition Path Theory analysieren. Da agentenbasierte Modelle in der Regel als nicht-station\"ar und möglicherweise sogar unter externer Beinflussung betrachtet werden, verallgemeinern wir Transition Path Theory auf zeitabhängige Dynamiken, zum Beispiel auf endlichen Zeitintervallen oder mit periodisch variierenden Übergangswahrscheinlichkeiten. Wir betrachten auch speziell den Fall einer Dynamik mit absorbierenden Zuständen und zeigen, wie die Übergänge vor der Absorption untersucht werden können. Diese Verallgemeinerungen können auch in anderen Anwendungsbereichen nützlich sein, z.B. bei der Untersuchung von Kippvorgängen in Klimamodellen oder in Molekülmodellen unter externer Beeinflussung. Ein weiteres Hindernis bei der Analyse von agentenbasierten Modellen ist der hochdimensionale Zustandsraum aufgrund der vielen Agenten. Die emergente Dynamik hat jedoch oftmals deutlich weniger Freiheitsgrade und zusätzlich viele Symmetrien, was eine Modellreduktion ermöglicht. Am Beispiel von zwei Modellen zeigen wir, wie eine lange Modellsimulation eingesetzt werden kann, um mithilfe von Diffusion Maps (einem Manifold Learning Algorithmus) eine niedrigdimensionale Parametrisierung des Zustandsraumes zu finden. In den betrachteten Modellen passen Agenten ihr binäres Verhalten der lokalen Nachbarschaft an. Wenn die Interaktionsnetzwerke aus mehreren dicht verbundenen Gemeinschaften bestehen, ist das Resultat ein weitgehend kohärentes Verhalten in jeder Gemeinschaft. Die niedrigdimensionale Struktur der Zustandsraumes ist daher ein Hyperwürfel. Die Ecken stellen metastabile Zustände mit kohärentem Agentenverhalten in jeder Gruppe dar und die Kanten entsprechen Übergangspfaden, bei denen Agenten in einer Gemeinschaft durch eine Kettenreaktion ihr Verhalten ändern. Auf die effektive Dynamik in dem reduzierten Raum können wir schlussendlich Transition Path Theory anwenden um z.B. die dominanten Übergangspfade aufzudecken oder die Agenten zu finden, die am meisten auf ein bevorstehendes Kippereignis hinweisen.