Diskretisierung von mehrgliedrigen Abelschen Integralgleichungen und gewöhnlichen Differentialgleichungen gebrochener Ordnung

Abstract

Die zentralen Anliegen dieser Arbeit sind die analytische und die numerische Lösung von linearen volterraschen Integralgleichungen erster und zweiter Art (mit aus Linearkombinationen von Potenzen mit reellen Koeffizienten > -1 bestehendenen Faltungskernen) und von verwandten Riemann-Liouville - und Caputo-Differentialgleichungen gebrochener Ordnung. Den vorgeschlagenen Diskretisierungen liegen die von Lubich (1983) erfundenen Methoden des discretized fractional calculus zugrunde. Als wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung des singulären Verhaltens der Lösungen im Ursprung wird eine Variante des Operatorenkalküls von Mikusinski zur Gewinnung von Reihenentwicklungen (in Form von Mittag-Leffler-Funktionen) der Lösungen benutzt. Die Art dieses komplizierten singulären Verhaltens wird ausgenutzt, um die Startgewichte der erforderlichen Faltungsquadratur konsistenzverträglich mit der Ordnung des zugrundeliegenden Mehrschrittverfahrens zu bestimmen. Numerische Experimente zu den Verfahren bestätigen die theoretisch nachgewiesenen Konvergenzeigenschaften.

The main concern of this thesis is the analytical and the numerical solution of linear Abel-Volterra Integral equation of first and second kind (whose convolution kernel is a linear combination of power functions with real coefficients >-1) and of related Riemann-Liouville and Caputo fractional differential equations. The proposed discretizations are based on the discretized fractional calculus developed by Lubich (1983). The singular behaviour of the solution at the origin is examined by using a Mikusinski type operational calculus for finding solutions in form of generalized Mittag- Leffler functions. The type of this complicated singular behaviour is used to compute the starting weights of the required convolution quadrature consistently with the order of convergence of the underlying multistep method. Numerical case studies confirm the theoretical results.