The passage from the integral to the rational group ring in algebraic K-theory

Abstract

In this dissertation we investigate a conjecture proposed by W. Lück and H. Reich that asserts for an arbitrary group G that the map K_0 ZG to K_0 QG given by rationalization is trivial in reduced K-theory or in other words, that any finitely generated projective ZG-module is stably free after rationalization. We show that this statement is false and give a concrete counterexample of a virtually group G for which there exists a finitely generated projective ZG-module P which is not stably free after rationalization, however P+P is. We also show that for groups G satisfying the Farrell-Jones conjecture the image in reduced K-theory is always 2-torsion and we give vanishing conditions in terms of the structure of the finite subgroups of G. We also give a comparison to the strong Bass conjecture and show, using our results, that it follows from the Farrell-Jones conjecture.

One of the necessities for constructing an infinite group G such that K_0 ZG to K_0 QG is non-trivial in reduced K-theory is the existence of finite subgroups H which have torsion in the negative K-theory group K_{-1} ZH. This goes back to results of D. Carter, who showed that K_{-1} ZH = Z^r + (Z/2)^s. We give an explicit algorithm for computing s for a finite group using the computer algebra system GAP and compute all such groups with non-trivial s for small orders.

In dieser Dissertation untersuchen wir eine Vermutung, welche von W. Lück und H.Reich aufgestellt wurde und besagt, dass für eine Gruppe G, nicht notwendigerweise endlich, die Abbildung K_0 ZG nach K_0 QG, gegeben durch die Rationalisierung, in reduzierter K-Theorie verschwindet. Anders ausgedrückt soll jeder endlich erzeugte projektive ZG-Modul nach Rationalisierung stabil frei sein. Wir zeigen, dass diese Vermutung falsch ist, und konstruieren eine virtuell zyklische Gruppe G mit der Eigenschaft, dass ein ZG-Modul P existiert, welcher nicht stabil frei nach Rationalisierung ist, wobei dies allerdings für P+P gilt. Wir zeigen weiters, dass für Gruppen G, welche die Farrell-Jones Vermutung erfüllen gilt, dass das Bild der Abbildung in reduzierter K-Theorie immer eine 2-Torsionsgruppe ist, und wir geben Bedingungen für das Verschwinden ebenjener Abbildung an, in Bezug auf die Struktur der endlichen Untergruppen von G. Wir vergleichen ebenfalls mit der starken Bass Vermutung und zeigen, durch Verwendung unserer Ergebnisse, dass die Bass Vermutung aus der Farrell-Jones Vermutung folgt.

Eine der Notwendigkeiten für das Konstruieren einer unendlichen Gruppe G, für die die Abbildung K_0 ZG nach K_0 QG in reduzierter K-Theorie nicht trivial wirkt, ist die Existenz von endlichen Untergruppen H mit der Eigenschaft, dass die negative K-Theorie-Gruppe K_{-1} ZH nicht-triviale 2-Torsion besitzt. Diese Frage wurde ursprünglich von D.Carter behandelt, welcher zeigte, dass K_{-1} ZH = Z^r + (Z/2)^s. Wir geben einen expliziten Algorithmus an, welcher den Koeffizienten s für endliche Gruppen mit dem Computeralgebrasystem GAP berechnet und berechnen alle Gruppen mit nicht-trivialem s für kleine Ordnungen.