On the stochastic Richards equation

Abstract

A frequent problem during numerical computations consists in the uncertainty of certain model parameters due to measuring errors or their high variability. In the last years, one could observe an increasing interest in the quantification of these uncertainties and their effects to the solution of numerical simulations; a powerful tool which has been proven to be an efficient approach in this context is the so-called polynomial chaos method which is based on a spectral decomposition of the covariance function of the uncertain parameters and a representation of the solution in a polynomial basis. The aim of this thesis is the application of this method to the Richards equation modeling groundwater flow in saturated and unsaturated porous media. The main difficulty consists in the saturation and the hydraulic conductivity appearing in the time derivative and in the spatial derivatives, since both depend nonlinearly on the pressure. Considering uncertain parameters like random initial and boundary conditions and, in particular, a random permeability leads to a stochastic variational inequality of second kind with obstacle conditions and a nonlinear convex functional as superposition operator. Considering variational inequalities in the context of uncertain parameters and the polynomial chaos method is new, and we start by deriving a weak formulation of the problem and approximating the parameters by a Karhunen-Loève expansion. The existence of a unique solution u in a tensor space can be proven for the time-discrete problem by reformulation as a convex minimization problem. We proceed by discretizing with finite elements and polynomial ansatz functions and by approximating the convex functional with Gaussian quadrature. The convergence of the solution of the discretized problem to the solution u is proved in a special case for a stochastic obstacle problem. Moreover, we perform numerical experiments to determine the discretization error. In the second part of this thesis, we develop an efficient numerical method to solve the discretized minimization problems. It is based on a global converging Block Gauß Seidel method and exploits a transformation which decouples the stochastic coefficients and connects the stochastic Galerkin with the stochastic collocation approach. This also allows us to establish a multigrid solver to accelerate the convergence. We conclude this thesis by demonstrating the power of our approach on a realistic example with lognormal permeability and exponential covariance.

Bei numerischen Berechnungen stößt man immer wieder auf die Schwierigkeit, daß gewisse Parameter in den beschreibenden Modellen aufgrund von Meßungenauigkeiten oder ihrer starken Variabilität nur mit einer gewissen Unsicherheit bestimmt werden können. In den letzten Jahren hat sich das Interesse an der Quantifizierung dieser Unsicherheiten und deren Auswirkungen auf die Lösung der numerischen Simulationen erhöht, wobei sich die sogenannte Polynomial-Chaos-Methode, die auf einer Spektralzerlegung der Kovarianzfunktion der unsicheren Parameter und anschließender Darstellung der Lösungsfunktion in einer Polynombasis beruht, in einer Vielzahl von Anwendungen als effizientes Verfahren zur Beantwortung dieser Fragestellung erwiesen hat. Das Ziel der vorliegenden Dissertation besteht in der Anwendung dieser Methode auf die Richards-Gleichung zur Modellierung von Grundwasserströmungen in gesättigten und ungesättigten Böden. Die Schwierigkeiten bei der numerischen Behandlung dieser Gleichung liegen darin begründet, daß die Sättigung und die hydraulische Leitfähigkeit, die in den Orts- und Zeitableitungen auftauchen, nichtlinear von der Lösung abhängen. Die Berücksichtigung unsicherer Parameter, worunter stochastische Anfangs- und Randbedingungen, vor allem aber eine stochastische Permeabilität fallen können, führt letztendlich auf die Untersuchung einer stochastischen Variationsungleichung zweiter Art mit Hindernisbedingungen und einem nichtlinearen konvexen Funktional in Form eines Superpositionsoperators. Die Betrachtung von Variationsungleichungen im Zusammenhang mit unsicheren Parametern und der Polynomial-Chaos-Methode ist neu, so daß zunächst eine schwache Formulierung des Problems hergeleitet wird, bevor die Approximation der Parameter durch eine Karhunen-Loève-Entwicklung erfolgt. Für das zeitdiskrete Problem läßt sich nun durch Umformulierung in ein konvexes Minimierungsproblem die Existenz einer eindeutigen Lösung u in einem Tensorraum beweisen. Hiernach erfolgt die Diskretisierung mit finiten Elementen und polynomiellen Ansatzfunktionen, wobei das konvexe Funktional mit geeigneten Gauß-Quadratur-Formeln approximiert wird. Für den Spezialfall eines stochastischen Hindernisproblems wird die Konvergenz der Lösung des diskretisierten Problems gegen die Lösung u bewiesen. Hinzu kommen numerische Untersuchungen zur Abschätzung des Diskretisierungsfehlers, die mit bekannten Resultaten für den linearen Fall verglichen werden. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein effizientes numerisches Verfahren zur Lösung des diskretisierten Minimierungsproblems entwickelt. Als Grundlage dient ein Block-Gauß-Seidel- Verfahren, das global konvergiert und in dem eine Transformation zur Entkopplung der stochastischen Koeffizienten vorgestellt wird, die die Brücke zwischen stochastischen Galerkin- und stochastischen Kollokationsverfahren schlägt. Das ermöglicht letzthin auch die Erweiterung zu Mehrgitterverfahren, um die Konvergenzgeschwindigkeit deutlich zu verbessern. Zum Abschluß wird die Leistungsfähigkeit des entwickelten Verfahrens an einem realistischen Beispiel mit lognormalverteilter Permeabilität und exponentieller Kovarianz gezeigt.