Numerical Simulation of Phase Separation in Binary and Multicomponent Systems

Abstract

The ban of lead in electronics solder by EU directives results in the technological challenge to develop lead-free alternatives with comparable life span and processing properties. Numerical simulations of the microstructure evolution may contribute to identify promising candidates and thus focus the immense experimental effort. Aim of this work is on the one hand to develop a numerical framework for the efficient and robust simulation of the microstructure evolution in binary alloys combining adaptive finite element methods with fast solvers for the Cahn-Hilliard model. On the other hand we will extend the existing fast solvers for the discrete scalar Cahn-Hilliard equation to the vector-valued case. After some preliminary remarks on phase diagrams, phase separation, and phasefield models in Chapter 1 we will firstly discuss anisotropic Allen-Cahn equations in Chapter 2. Alle-Cahn-like problems arise as subproblems in the Nonsmooth Schur-Newton (NSNMG) method for Cahn- Hilliard equations in Chapters 3 and 4. Here we prove existence and uniqueness of solutions to the anisotropic Allen-Cahn equation with logarithmic potential using the theory of maximal monotone operators. For the numerical solution we introduce an adaptive spatial mesh refinement cycle for evolution problems and several variants of implicit Euler time discretization. We prove stability for the latter and numerical experiments conclude the chapter. Chapter 3 combines existing and newly developed numerical tools to a simulation software for microstructure evolution in binary alloys. Key ingredients are the adaptive mesh refinement cycle of Chapter 2, the NSNMG solver, a quantification algorithm for measuring "coarseness" of microstructures and a quotient space multigrid method for indefinite problems. An application of this software to simulate the microstructure evolution in a eutectic AgCu alloy shows only marginal impact of elastic stresses on coarsening in the setting considered; while the use of a smooth interpolant of the logarithmic potential affects the coarsening dynamics considerably. In the final chapter we consider the multicomponent Cahn-Hilliard equation and derive a unified formulation for the discrete problems which allows a direct application of the NSNMG method. Existence and uniqueness of discrete solution are proved and numerical examples illustrate the robustness of the scheme with respect to temperature, mesh size, and number of components.

Mit dem EU weiten Verbot von bleihaltigen Loten in elektronischen Bauteilen ergibt sich die Notwendigkeit, Ersatzlegierungen mit vergleichbaren Verarbeitungseigenschaften und vergleichbarer Lebensdauer zu entwickeln. Numerische Simulationen der Evolution der Mikrostruktur können dazu beitragen, geeignete Kandidaten auszuwählen und damit den großen experimentellen Aufwand zu verringern bzw. zu fokussieren. Ziel dieser Arbeit ist zum einen ein numerisches Framework zur effizienten und robusten Simulation der Mikrostrukturevolution in binären Legierungen mit reellen Materialparametern zu erarbeiten. Dieses soll adaptive Finite-Elemente-Verfahren mit den schnellen Lösern für die Cahn-Hilliard-Gleichung und die elastischen Teilprobleme kombinieren. Zum anderen sollen die Nichtglatten Schur-Newton Verfahren zur Lösung der diskreten skalaren Cahn-Hilliard Gleichung auf den mehrkomponentigen Fall, d.h. mit vektorwertigem Ordnungsparameter, erweitert werden. Nach einführenden Bemerkungen zu Phasendiagrammen, Phasenseparation und Phasenfeldmodellen in Kapitel 1 wird in Kapitel 2 zunächst die anisotrope Allen-Cahn-Gleichung untersucht. Allen-Cahn-artige Probleme treten als Teilprobleme bei der Lösung der Cahn-Hilliard Gleichung in den Kapiteln 3 und 4 auf. Hier werden Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen mithilfe der Theorie maximal monotoner Operatoren bewiesen. Für die numerische Lösung werden ein adaptiver Ortsgitter-Verfeinerungszyklus für zeitabhängige Probleme und mehrere Varianten impliziter Euler-Zeitdiskretisierung eingeführt. Für letztere wird Stabilität bewiesen und numerische Experimente illustrieren die Genauigkeit der Diskretisierungen sowie den Verlust der Rotationsinvarianz unter Anisotropie. Kapitel 3 fügt bereits existierende und neu entwickelte numerische Werkzeuge zu einem Simulationstool für Mikrostrukturevolutionen in binären Legierungen zusammen. Wesentliche Bausteine sind dabei der adaptive Gitterverfeinerungszyklus aus Kapitel 2, der NSNMG Löser, ein Quantifizierungsalgorithmus für den Grad der Vergröberung der Mikrostruktur und ein Quotientenraum-Mehrgitterverfahren für die indefiniten Elastizitätsprobleme. Die Anwendung dieses Simulationstools für eine eutektische AgCu-Legierung zeigt nur marginalen Einfluss der Elastizität auf die Vergröberung im betrachteten Setting. Die Verwendung eines glatten Potentials anstelle des logarithmischen verfälscht die Vergröberungsdynamik hingegen erheblich. Im letzten Kapitel wird für die vektorwertige Cahn- Hilliard-Gleichung eine vereinheitlichende Formulierung für die diskretisierten Ortsprobleme hergeleitet, welche die direkte Anwendung des NSNMG Verfahrens erlaubt. Existenz und Eindeutigkeit von diskreten Lösungen werden gezeigt und numerische Beispiele illustrieren die Robustheit des Verfahrens bzgl. Temperatur und Anzahl der Komponenten.