Numerical approximation of non-isothermal multi-component, multi-phase field systems

Abstract

The subject of this thesis is the derivation and analysis of numerical approximations of multi-component, multi-phase field systems. Recent approximations of solutions to such models are mostly based on explicit time stepping schemes and require the computation of many time steps. Implicit methods exhibit inherent numerical challenges, in particular due to the non-smoothness of the underlying energy functionals.

Our focus lies on the derivation of numerical approximations within the thermodynamically consistent context with high efficiency and robustness. We aim to exploit the special mathematical structure of the model and the underlying thermodynamics without introducing additional regularizations.

We introduce the thermodynamic and multi-phase setting in chapter 2 and continue by motivating and presenting a thermodynamically consistent multi-component, multi-phase field model in chapter 3. Based on Rothe’s method, we obtain a semi-discretization allowing for adaptive meshes in chapter 4 and the implicit problems are analyzed. In chapter 5, a full discretization with adaptive finite elements based on hierarchical a posteriori error estimation is set up. We transition to a purely algebraic formulation and present the iterative approximation of solutions with a nonsmooth Schur–Newton multigrid approach in chapter 6. Finally, in chapter 7, we perform numerical experiments to underline the thermodynamical consistency and numerical efficiency of our method.

Die Arbeit beschäftigt sich mit einem thermodynamisch konsistenten Modell zur Beschreibung von Legierungen unter Einbezug mehrerer chemischer Komponenten sowie im Sinne von Phasenfeldmodellen über den physikalischen Begriff hinaus verallgemeinerten Phasen. Aktuelle Simulationen von z.B. Erstarrungsprozessen mittels solcher Modelle mit anwendungsnahen Parametern sind vorranging expliziter Natur im Sinne der Zeitdiskretisierung und zuverlässige Ergebnisse erfordern hierbei bekanntermaßen die Berechnung vieler Zwischenschritte. Implizite Methoden hingegen bergen einige numerische Herausforderungen insbesondere auch aufgrund der nicht-Glattheit der zugrundeliegenden Energien.

Ziel dieser Arbeit ist die konsistente Herleitung sowie effiziente und robuste Berechnung von impliziten numerischen Annäherungen an kontinuierliche Lösungen solcher temperaturgekoppelten Mehrphasen- und Mehrkomponenten-Modelle unter Berücksichtigung der modellinhärenten Invarianten bei gleichzeitiger Ausnutzung der zugrundeliegenden physikalischen Strukturen, insbesondere bezüglich bestimmter Dualitäten.

Aufbauend auf den Grundlagen für Mehrphasen- und -komponenten-Modelle in Kapitel 2 wird in Kapitel 3 ein flexibles thermodynamisch konsistentes Modell vorgestellt. Davon ausgehend werden in den darauffolgenden Kapiteln 4 und 5 schrittweise Diskretisierungen hergeleitet, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der resultierenden Systeme bewiesen und die Erhaltungseigenschaften der dadurch erzeugten Annäherungen diskutiert. Hierbei ermöglichen adaptive Gitter eine problemangepasste Verteilung der räumlichen Freiheitsgrade auf Basis eines hierarchischen Fehlerschätzers. Die numerische Lösung dieser Systeme durch algebraische Umformulierungen und Anwendung von nicht-glatten Mehrgittermethoden wird in Kapitel 6 vorgestellt. Das entstehende zentrale nicht-lineare Sattelpunktproblem kann äquivalent durch Auswertung eines nicht-glatten Teilproblems in ein Minimierungsproblem überführt werden, für das ein effizientes Abstiegsverfahren verwendet wird. Zuletzt werden in Kapitel 7 rechnerische Experimente durchgeführt um die angestrebte thermodynamische Konsistenz sowie die numerische Effizienz zu belegen.