Zu kp-Schrödingeroperatoren

Abstract

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung der Spektraleigenschaften einer speziellen Klasse von Multiband-Schrödingeroperatoren, den so genannten kp- Schrödingeroperatoren. Die gewonnenen Ergebnisse werden anhand eines Achtband- Modells verdeutlicht, an welchem auch Upscalingmethoden zur Verwendung von kp- Rechnungen in der Lasersimulation diskutiert werden. kp-Schrödingeroperatoren sind etablierte Modelle zur Berechnung der elektronischen Struktur von Halbleiter-Quantenschichten. Die Bänder eines Halbleiters werden jeweils durch skalare, räumlich eindimensionale Schrödingeroperatoren beschrieben, deren Kopplung durch Differentialoperatoren erster und nullter Ordnung definiert ist. Diese Matrix-Schrödingeroperatoren hängen parametrisch vom zweidimensionalen Wellenvektor k ab. Die Eigenwertkurven dieser zweidimensionalen Schar räumlich eindimensionaler Eigenwertprobleme beschreiben die Bandstruktur in der Quantenschicht. Die Eigenfunktionen approximieren die zugehörige elektronische Wellenfunktion. Bei der Untersuchung der Spektraleigenschaften der kp-Operatoren interessieren einerseits Aussagen für einen beliebigen aber fest vorgegebenen Wellenvektor und andererseits die Abhängigkeit dieser Eigenschaften vom Wellenvektor. Darüber hinaus stellt sich aus physikalischer Sicht die Frage nach der Existenz einer Spektrallücke bei k=0, der Bandlücke der Quantenschicht, sowie nach der Erhaltung dieser Bandlücke für endliche Werte von k. Die Untersuchung der kp-Operatoren erfolgt mit Hilfe von Stabilitätstheoremen und Methoden der analytischen Störungstheorie. Zur Frage der Existenz der Bandlücke leitet man quantitative Aussagen mit Hilfe von Formabschätzungen her. Die Resultate werden für das häufig benutzte Achtband-Modell konkret ausgewertet. Die Anwendung dieses Modells zur Simulation realer Mehrfach-Quantenschichten schließt diese Arbeit ab, wobei der Fokus auf der Verwendung der quantenmechanischen kp-Rechnungen für die optoelektronische Simulation von Halbleiterlasern liegt. Die Untersuchungen werden am Beispiel einer InGaAsP- Laserstruktur durchgeführt, deren Emissionswellenlänge auf die optische Faserkommunikation abgestimmt ist. Aufgrund der Popularität der kp-Modelle findet man in der Literatur viele Beiträge zur Berechnung der elektronischen Struktur konkreter Halbleiter-Heterostrukturen. Daneben gibt es eine Reihe aktueller Arbeiten, die sich mit Modellierungsfragen sowie dem Problem potentiell auftretender unphysikalischer Lösungen und deren Unterdrückung auseinandersetzen. Dagegen ist über die Spektraleigenschaften der kp- Schrödingeroperatoren bisher wenig bekannt.

This dissertation investigates the spectral properties of a specific class of multi-band Schrödinger operators, the so-called kp-Schrödinger operators. The obtained results are illustrated by an eight-band model, for which also upscaling methods for the utilization of kp-calculations for the laser simulation are discussed. kp-Schrödinger operators are well-established models for the calculation of the electronic structure in semiconductor quantum wells. The energy bands of a semiconductor are described by spatially one- dimensional Schrödinger operators, whose couplings are defined by differential operators of first and zeroth order. These matrix-type Schrödinger operators depend parametrically on the two-dimensional wave vector k. The eigenvalue curves of the resulting two-dimensional family of spatially one-dimensional eigenvalue problems describe the band structure in the quantum wells. The eigenfunctions approximate the corresponding wave functions. For the analysis of the spectral properties of the kp-operators we are on the one hand interested in results for an arbitrary but fixed wave vector and on the other hand in findings on the dependence of these properties on the wave vector. Moreover, from a physical point of view the question of the existence of a spectral gap at k=0, the bandgap of the quantum well, is of particular interest together with the question of the persistence of this spectral gap for a finite range of k. The investigations on the kp-operators are carried out by means of stability theorems and by analytic perturbation theory. Concerning the question of the existence of a bandgap, quantitative results are obtained using form estimates. These results are concretized for the frequently used eight-band model. The application of this model for the simulation of real-world multiple quantum wells is shown as well as the utilization of the quantum mechanical kp-calculations for the optoelectronic simulation of semiconductor lasers. The research is carried out for an InGaAsP laser structure, whose emission wave length is adjusted to the needs of optical fiber communication. Due to the popularity of the kp-models one finds in the literature a lot of work related to the computation of the electronic structure for specific semiconductor heterostructures. Additionally, there are several contributions, which deal with modeling questions and with the problem of the possible appearance of unphysical solutions ('spurious solutions') and of their elimination. In contrast to that, there is up to now little known on the spectral properties of the kp-Schrödinger operators.