Numerical Algorithms for Algebraic Stabilizations of Scalar Convection-Dominated Problems

Abstract

In dieser Arbeit wurden Finite-Elemente-Verfahren mit algebraischer Fluss\-kor\-rek\-tur (AFC) f\"ur station\"are Konvektions-Diffusions-Reaktions Gleichungen untersucht. Die beiden Hauptaspekte, die studiert wurden, sind iterative L\"oser f\"ur die auftretenden nichtlinearen Gleichungen und adaptive Gitterverfeinerung basierend auf a posteriori Fehlersch\"atzern. Die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit sind im Folgenden zusammengefasst.

Zun\"achst wurden Studien zu den L\"osern vorgestellt. Es wurden mehrere iterative L\"oser untersucht, darunter Fixpunktans\"atze und Methoden vom Newton-Typ. Die Newton Methoden reduzierten die Anzahl der Iterationen f\"ur bestimmte Beispiele, aber sie waren ineffizient bez\"uglich der Rechenzeit. Der einfachste Fixpunktansatz, n\"amlich \fpr, war auf Grund seiner Matrixeigenschaften am effizientesten. Algorithmische Komponenten, wie die Anderson-Beschleunigung, reduzierten die Anzahl der Iterationen in einigen Beispielen, aber sie lieferte keine Ergebnisse f\"ur den BJK-Limiter. In drei Dimensionen wurde ein iterativer L\"oser f\"ur feinere Gitter ben\"otigt, aber auch hier war \fpr die effizienteste Herangehensweise. Unabh\"angig von der Dimension war es einfacher, die Probleme mit dem Kuzmin-Limiter als mit dem BJK-Limiter zu l\"osen.

Der zweite Hauptaspekt sind Studien zur a posteriori Fehlersch\"atzung. Es wurden zwei Ans\"atze zur Bestimmung einer oberen Schranke in der Energie\-norm untersucht, ein auf Resi\-duen basierender Ansatz (\emph{AFC-Energie} Technik) und ein anderer mit der SUPG-L\"osung (\emph{AFC-SUPG-Energie} Technik). Beide Techniken liefern keine robusten Sch\"atzungen bez\"uglich $\varepsilon$, aber es zeigte sich, dass der \emph{AFC-SUPG Energie} Ansatz einen besseren Effektivit\"ats\-index besa{\ss}. F\"ur den BJK-Limiter war die Effektivit\"at besser als f\"ur den Kuzmin-Limiter mit dem \emph{AFC-Energie} Ansatz, w\"ahrend beim \emph{AFC-SUPG Energie} Ansatz die Wahl des Limiters keine Rolle spielte. Im Zuge der adaptiven Gitterverfeinerung kann das Problem lokal diffusions-dominant werden. In diesem Falle muss man den BJK-Limiter verwenden, da man beim Kuzmin-Limiter eine reduzierte Konvergenzordnung beobachten kann. Im Hinblick auf die adaptive Gitterverfeinerung wurden Grenzschichten unterschiedlichen Typs besser mit dem \emph{AFC-Energie} Ansatz verfeinert als mit dem \emph{AFC-SUPG Energie} Ansatz.

Schlie{\ss}lich wurden die Ergebnisse f\"ur die a posteriori Fehlersch{\"a}tzung auf Gitter mit h{\"a}ngenden Knoten angewandt. Zun\"achst wurden Ergebnisse bez\"uglich h\"angender Knoten von Lagrange-Elementen niedriger Ordnung auf Elemente h\"oherer Ordnung erweitert. Es zeigte sich in numerischen Studien, dass der Kuzmin-Limiter auf Gittern mit h{\"a}ngenden Knoten dem DMP nicht gen\"ugt, w{\"a}hrend der BJK-Limiter Ergebnisse lieferte, die dem DMP entsprachen. Die Grenzschichten wurden auf konform abgeschlossenen Gittern wesentlich besser approximiert als auf Gittern mit h{\"a}ngenden Knoten. Insgesamt sollte man Gitter mit h{\"a}ngenden Knoten nicht f\"ur AFC Verfahren verwenden.

This thesis studies the Algebraic Flux Correction (AFC) schemes for the steady-state convection-diffusion-reaction equations. The work is done on two major aspects of these schemes, namely the iterative solvers for the nonlinear equations and a posteriori error estimation. The major findings of the thesis are summarized below.

First, studies concerning the solvers are presented. Several iterative solvers are studied including fixed-point approaches and Newton-type methods. Newton methods reduce the number of iterations for certain examples but it is computationally inefficient. The most simple fixed point approach, namely the fixed point right-hand side is the most efficient because of its matrix structure. Algorithmic components such as Anderson acceleration reduced the number of iterations in some examples but it failed to give results for the BJK limiter. In three dimensions, an iterative solver is needed for finer meshes but here also the fixed point right-hand side is the most efficient. Irrespective of the dimension, it is easier to solve the problem with the Kuzmin limiter as that of the BJK limiter. In conclusion, one might get fewer iterations, with advanced methods but the simple fixed-point approach with dynamic damping is the most efficient in both dimensions.

Second, studies for a posteriori error estimation is presented. Two approaches for finding the upper bound are investigated in the energy norm, one residual-based (AFC-Energy technique), and others using the SUPG solution (AFC-SUPG Energy technique). The AFC-Energy estimator is shown not to be robust with respect to $\varepsilon$ and hence, the AFC-SUPG approach gave a better effectivity index. For the BJK limiter, the effectivity is better than the Kuzmin limiter with the AFC-Energy approach, whereas for the AFC-SUPG approach the choice of limiter did not play a role. With adaptive grid refinement, the problem could become locally diffusion dominated and hence one has to use the BJK limiter as one can observe reduced order of convergence for the Kuzmin limiter. In regards to adaptive grid refinement, the AFC-Energy approach approximated the layer much better as compared to the AFC-SUPG approach.

Lastly, the results for a posteriori error estimation are extended to grids with hanging nodes. First, results regarding hanging nodes are extended from lower-order Lagrange elements to higher-order elements. It was shown that the Kuzmin limiter fails to satisfy DMP on grids with hanging nodes, whereas the BJK limiter satisfies the DMP. The layers are properly approximated on conformally closed grids in comparison to grids with hanging nodes. Altogether, one should not use grids with hanging nodes for AFC schemes.