On local real algebraic geometry and applications to kinematics

Abstract

In contrast to complex varieties, a real algebraic variety X embedded in euclidean space can still be smooth at a singular point, in the sense that X is locally an analytic submanifold of the ambient space. This happens because the analytic Nullstellensatz does not hold for real analytic varieties, i.e. parts of analytic branches of X at p might not be visible in real space.

Identifying non-manifold points of real algebraic sets requires a novel approach and theory from analytic and real algebraic geometry. We will present several results to (dis)prove smoothness and also address the problem to check those criteria algorithmically. Based on those results we have implemented a Singular-procedure for algebraic curves.

As an application we will determine all configuration space singularities of several well-known kinematic linkages.

Anders als komplexe Varietäten kann eine reelle algebraische Varietät X eingebettet im euklidischen Raum an einem singulären Punkt p glatt sein, in dem Sinne, dass X lokal eine analytische Untermannigfaltigkeit des umgebenden Raums ist. Das liegt daran, dass der analytische Nullstellensatz nicht für reelle analytische Varietäten gilt, d.h. Teile von analytischen Zweigen von X an p können im reellen nicht sichtbar sein.

Die Identifizierung von Nicht-Mannigfaltigkeitspunkten reeller algebraischer Mengen erfordert einen neuartigen Ansatz und Theorie aus analytischer und reeller algebraischer Geometrie. In dieser Arbeit werden wir mehrere Ergebnisse vorstellen um reelle Glattheit nachzuweisen oder zu widerlegen. Darüber hinaus behandeln wir das Problem, diese Kriterien algorithmisch zu überprüfen. Basierend auf diesen Resultaten wurde eine Singular-Prozedur für algebraische Kurven implementiert.

Als Anwendung konnten alle Konfigurationsraum-Singularitäten mehrerer bekannter kinematischer Getriebe bestimmt werden.