Covering properties of lattice polytopes

Abstract

This thesis studies problems concerning the interaction between polytopes and lattices. Motivation for the study of lattice polytopes comes from two very different fields: discrete optimization, in particular integer linear programming, and algebraic geometry, specifically the study of toric varieties.

The first topic we study is the existence of unimodular covers for certain interesting families of 3-dimensional lattice polytopes. A unimodular cover of a lattice polytope is a collection of unimodular simplices whose union equals the polytope. Admitting a unimodular cover is a weaker property than admitting a unimodular triangulation, and stronger than having the integer decomposition property (IDP). This last property is particularly interesting in the algebraic context, and there are various conjectures relating it to smoothness. We show that unimodular covers exist for all 3-dimensional parallelepipeds and for all Cayley sums of polygons where one polygon is a weak Minkowski summand of the other. For both classes of polytopes only the IDP property was previously known.

We then explore questions related to the so-called flatness constant, the largest width that a hollow convex body can have in a given dimension. A hollow convex body is one that contains no lattice points in its interior. The flatness constant was shown to be finite in work of Kinchin, and upper bounds for it have been well studied, among other reasons because it played a crucial role in the first polynomial time algorithm for integer linear programs in fixed dimension. In this thesis, we focus on lower bounds for the flatness constant, and for some specializations of it. In particular, we construct a wide hollow tetrahedron, and conjecture that in dimension three there are no hollow convex bodies of larger width. As evidence for this conjecture, we can show that a local version of it: every small perturbation of our tetrahedron that maintains hollowness decreases in width. We further construct the first known examples of lattice polytopes of width larger than their dimensions. We then exploit these explicit constructions to obtain asymptotic lower bounds for the flatness constant.

Finally, we study a somehow opposite question: how small can the covering radius of a non-hollow lattice polytope be. We conjecture that a certain explicit family of polytopes achieves the minimum covering radius, and show that this conjecture can be translated into the language of covering minima, introduced by Kannan and Lovasz with the purpose of finding upper bounds for the flatness constant mentioned above. From our investigation of this conjecture, a natural definition of a discrete surface area emerges. We then formulate a stronger conjecture, which proposes an upper bound for the covering radius of simplices in terms of the newly defined discrete surface area and the normalized volume.

Diese Disseration beschäftigt sich mit dem Zusammenspiel von Polytopen und Gittern. Die Motivation für die Untersuchung von Gitterpolytopen kommt dabei aus zwei sehr unterschiedlichen Gebieten: der diskreten Optimierung, insbesondere der ganzzahligen linearen Optimierung und der algebraischen Geometrie, genauer dem Studium von torischen Varietäten.

Das erste Thema, das wir untersuchen, ist die Existenz von unimodularen Überdeckungen für bestimmte Familien von 3-dimensionalen Gitterpolytopen. Eine unimodulare Überdeckung eines Gitterpolytopes ist eine Menge, bestehend aus unimodularen Simplizes, deren Vereinigung gleich dem Polytop ist. Die Eigenschaft eine solche unimodulare Überdeckung zu besitzen ist schwächer, als eine unimodulare Triangulierung zu besitzen und impliziert die Integer Decomposition Property (IDP). Letztere Eigenschaft ist von besonderem Interesse hinsichtlich ihrer algebraischen Bedeutung und es gibt verschiedene Vermutungen, die diese Eigenschaft mit dem Konzept der Glattheit eines Gitterpolytopes verbinden. Wir zeigen, dass für alle 3-dimensionalen Parallelepipede und alle Cayley-Summen von Polygonen, von denen das Eine ein schwacher Minkowski-Summand des Anderen ist, eine unimodulare Überdeckung existiert. Bisher war nur bekannt, dass diese beiden Klassen die IDP-Eigenschaft erfüllen.

Als Nächstes widmen wir uns verschiedenen Fragen die sogennante Flatness-Konstante betreffend. Dies ist die größte Gitterweite, die ein hohler konvexer Körper in gegebener Dimension annehmen kann. Hierbei ist ein hohler konvexer Körper ein konvexer Körper, der keine Gitterpunkte in seinem Inneren hat. In einer Arbeit von Kinchin wurde die Endlichkeit dieser Konstanten gezeigt. Darüber hinaus gab es viele Untersuchungen hinsichtlich oberer Schranken, unter anderem, da die Flatness-Konstante eine entscheidende Rolle in dem ersten Algorithmus zur Lösung ganzzahliger linearer Optimierungsprobleme in fester Dimension in polynomieller Zeit spielt. In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf untere Schranken der Flatness-Konstanten und auf einige ihrer Spezialisierungen. Wir konstruieren einen breiten hohlen Tetraeder, von dem wir vermuten, dass es keinen hohlen konvexen Körper mit größerer Weite in Dimension 3 gibt. Als Indiz für Richtigkeit dieser Vermutung können wir eine lokale Version beweisen: jede kleine lokale Modifikation dieses Tetraeders, die die Eigenschaft der Hohlheit erhält, verringert die Weite. Darüber hinaus konstruieren wir die ersten bekannten Beispiele von Gitterpolytopen, deren Weite größer als deren Dimension ist und nutzen diese expliziten Konstruktionen um asymptotische untere Schranken für die Flatness-Konstante zu zeigen.

Zuletzt untersuchen wir wie klein der Überdeckungsradius eines nicht-hohlen Gitterpolytop sein kann. Wir vermuten, dass der minimale Überdeckungsradius von einer bestimmten, expliziten Familie von Polytopen angenommen wird und übersetzen diese Vermutung in eine Vermutung über Überdeckungsminima. Überdeckungsminima wurden von Kannan und Lovasz eingeführt um obere Schranken für die Flatness-Konstante zu finden. Unsere Untersuchungen führen auf natürliche Art und Weise zu der Definition eines diskreten Oberflächenmaßes. Dadurch können wir eine stärkere Vermutung formulieren, mit deren Hilfe wir eine obere Schranke für den Überdeckungsradius von Simplizes vorschlagen, die von der neu eingeführten diskreten Oberfläche und dem normalisierten Volumen des Simplizes abhängt.