Noncommutative deformations of toric varieties

Abstract

For an affine toric variety $\spec(A)$ we give a convex geometric description of the Hodge decomposition of its Hochschild cohomology. Under certain assumptions we compute the dimensions of the Hodge summands $T^1_{(i)}(A)$, generalizing the existing results about the Andr\'e-Quillen cohomology group $T^1_{(1)}(A)$. We prove that every Poisson structure on a possibly singular affine toric variety can be quantized in the sense of deformation quantization. Furthermore, we give a convex geometric description of the Harrison cup product formula $T^1_{(1)}(A)\times T^1_{(1)}(A)\to T^2_{(1)}(A)$, which gives us the quadratic equations of the versal base space. Moreover, a differential graded Lie algebra $\fg$ controlling Poisson deformations of an arbitrary affine variety is constructed. In the toric case we simplify the computation of the Poisson cohomology groups $H^k(\fg)$.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Hochschild Kohomologiegruppen affiner torischer Varietäten und ihre Anwendung in der Deformationsquantisierung und kommutativen Deformationstheorie. Unter bestimmten Annahmen berechnen wir die Dimensionen der Hodge-Summanden $T^1_{(i)}(A)$, was existierende Resultate über Andr\'e-Quillen Kohomologiegruppen $T^1_{(1)}(A)$ von Sletsj\o e und Altmann verallgemeinert. Wir zeigen jedoch, dass jede Poisson Struktur auf einer möglicherweise singulären affinen torischen Varietät im Sinne von Deformationsquantisierung quantisiert werden kann. Für kommutative Deformationen torischer Varietäten geben wir eine konvex-geometrische Beschreibung der Harrison Cup-Produktformel $T^1_{(1)}(A)\times T^1_{(1)}(A)\to T^2_{(1)}(A)$. Dies ermöglicht eine Beschreibung der quadratischen Gleichungen des versellen Deformationsraums. Wir konstruieren eine differentielle graduierte Lie Algebra $\fg$, die die Possion Deformationen einer allgemeinen affinen Varietät kontrolliert.