Rank 1 isocrystals on simply connected varieties and their moduli

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Theorie der Isokristallen, insbesondere mit zwei Vermutungen von de Jong und Deligne.

Im ersten Teil zeigen wir über log erweiterbare Isokristalle von Rang 1 auf nicht-projektiven Varietäten: Wenn die zahme Fundamentalgruppe der Varietät trivial ist, dann sind alle solche Isokristalle trivial. Dies dehnt Ergebnisse von Esnault und Shiho aus.

Ferner, stellen wir die Menge der Isokristallen von Rang 1 auf einer projektiven Kurve als Unterraum des de Rham Modulraums von Simpson und Langer dar. Wir vergleichen die l-adische Kohomologie dieses Unterraums mit der l-adischen Kohomologie des Modulraums, indem wir Ergebnisse aus der Theorie von Berkovich verwenden. Wir beweisen damit eine Vermutung von Deligne.

This thesis is about the theory of isocrystals, in particular about two conjectures of de Jong and Deligne. In the rst part of the thesis we treat the case of rank 1 log extendable isocrystals on non-proper varieties: we show that if the variety has trivial tame fundamental group, then there are no non-trivial such isocrystals on it. This extends a result of Esnault and Shiho in the projective case. Moreover, we express the set of rank 1 isocrystals on a proper curve as a subset of the de Rham moduli space, de ned by Simpson and Langer. Using results from the theory of Berkovich spaces, we compare the l-adic cohomology of this subspace with the l-adic cohomology of the whole moduli space. This con rms a conjecture of Deligne in the rank 1 case.