Constrained Curve Flows

Abstract

In this thesis we consider closed, embedded, smooth curves in the plane whose local total curvature does not lie below -\pi and study their behaviour under the area preserving curve shortening flow (APCSF) and the length preserving curve flow (LPCF). For the APCSF, we show that under the above initial condition, the flow does not develop any singularities in finite time but exists for all times and converges smoothly and exponentially to a round circle after becoming convex in finite time. For the LPCF, we prove that under the above initial condition, the flow does not develop collapsed singularities and if it exists for all positive times, it converges smoothly and exponentially to a round circle after becoming convex in finite time. For these results, the above initial condition on the local total curvature is sharp. To exclude singularities, we introduce a distance comparison principle and a monotonicity formula and use methods from the theory of curve shortening flow.

In dieser Arbeit betrachten wir geschlossene, eingebettete, glatte Kurven in der Ebene, deren lokale totale Krümmung nicht unter -\pi liegt, und studieren ihr Verhalten unter dem flächenerhaltenenden, sowie dem längenerhaltenden Kurvenfluss. Für den flächenerhaltenden Kurvenfluss zeigen wir, dass, unter der obigen Anfangsbedingung, der Fluss keine Singularitäten in endlicher Zeit entwickelt, aber stattdessen für alle Zeiten existiert. Nach einer bestimmten endlichen Zeit werden die Kurven konvex und konvergieren danach exponentiell schnell zu einem runden Kreis. Für den längenerhaltenden Kurvenfluss schließen wir unter der obigen Anfangsbedingung kollabierte Singularitäten aus und beweisen, dass Lösungen, die für alle positiven Zeiten existieren, glatt und exponentiell schnell zu einem runden Kreis konvergieren, nachdem sie in endlicher Zeit konvex wurden. Für diese Ergebnisse ist die obige Anfangsbedingung an die lokale totale Kümmung scharf. Um die Singularitäten auszuschließen, beweisen wir ein Abstandsvergleichsprinzip und eine Monotonieformel und benutzen außerdem Methoden aus der Theorie des Kurvenkürzungsflusses.