Semi-Analytical Semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin Advection Scheme for the Compressible Linear Advection Equation

Abstract

The main objective of this thesis is to develop a numerical method, known as the SASLDG method, that solves the compressible linear advection equation in a semi-analytical way using a semi-Lagrangian approach and applying ideas from the discontinuous Galerkin (DG) methods. In order to achieve physically meaningful solutions, mass conservation is required. For the same reason, the option of slope limiting and thus positivity preservation are also necessary. Furthermore, high-order accuracy and no time step restriction are required.

First, the basic methods underpinning the SASLDG method are introduced. We describe a method developed independently by Prather and van Leer. This so-called second-order moments method is a preliminary stage of the SASLDG method. Both methods are equivalent for CFL numbers less than or equal to one and with constant velocity. We then introduce DG methods to generalize the concept of high-order accuracy of numerical solutions using a polynomial representation for each grid cell. One drawback of this class of methods is the strict time step restriction. In contrast, semi-Lagrangian methods allow time steps of arbitrary size without violating stability properties. We also introduce and analyze the numerical scheme multidimensional positive definite advection transport algorithm (MPDATA).

Following the semi-Lagrangian notion, the advected quantity is tracked analytically along the trajectories. It is represented as piecewise polynomials of degree two. A condition for this approach is the restriction of the given velocity field to a piecewise linear distribution. This enables the derivation of the exact solution, which is in general not in polynomial form. Therefore, much like with DG methods, a projection onto the polynomial space is carried out. A deviation from the solution only occurs in the projection step. The SASLDG method involves rigorously computing every step of the solution to the linear advection equation analytically. However, this concept places many conditions on the algorithm, which require the application of different branches of the SASLDG method. To prevent the cancellation of significant digits, further exceptions have to be made and resolved by alternative computations.

A thorough analysis of the SASLDG method proves its consistency and stability. Third-order accuracy for advection with constant velocity and second-order accuracy for variable velocity is demonstrated analytically and confirmed by numerical convergence tests.

Test cases in one- and two- space dimensions are conducted to show the performance of the SASLDG method. High accuracy is shown in tests using smooth and discontinuous initial values. The method’s ability to handle an irregular grid and arbitrary CFL numbers is assessed. Tests in 1D show that an increase of the CFL number results in smaller maximum- and $l_1$-errors. This feature cannot be transferred to the 2D case since the extension is done via operator splitting, where accuracy increases with decreasing time step sizes. Numerous physical phenomena, e.g.\ in the dynamics of the atmosphere or the ocean, can occur on different scales of the space dimensions. This can lead to computational grids with higher resolution and grid cells sizes in the vertical direction than in the horizontal direction. To address this scenario, we develop a hybrid method which employs MPDATA and a modified version of the SASLDG method. This scheme can compute the solution to the advection equation on grids with high aspect ratio without strict time step restrictions in the vertical direction. Overall, the SASLDG method shows promising results and is worthy of further development.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung einer numerischen Methode, die die kompressible lineare Advektionsgleichung auf eine semi-analytische Weise mit einem semi-Lagrangian Ansatz unter Verwendung von Ideen der Discontinuous Galerkin (DG) Methoden löst, hier als SASLDG Methode bezeichnet. Eine Vorgabe für das Verfahren ist die Massenerhaltung, um eine physikalisch sinnvolle Lösung zu garantieren. Aus diesem Grund soll auch “slope limiting” möglich sein und die Positivität der Lösung erhalten bleiben. Hohe Genauigkeit und unbeschränkte Zeitschrittgröße sind weitere Bedingungen.

Zunächst werden die Methoden erläutert, die der SASLDG Methode zugrunde liegen. Eine von Prather und van Leer unabhängig voneinander entwickelte Methode wird beschrieben. Diese sogennante Second-Order Moments Methode ist eine Vorstufe zur SASLDG Methode. Für CFL Zahlen, die kleiner gleich eins sind, und für eine konstante Advektionsgeschwindigkeit sind die Verfahren identisch. DG Methoden verallgemeinern das Konzept der hohen Genauigkeit durch Verwendung von Polynomen höherer Ordnung. Diese haben jedoch den Nachteil strikter Zeitschrittbeschränkung. Semi-Lagrangian Verfahren lassen Zeitschritte beliebiger Größe zu, ohne Stabilitätsbedingungen zu verletzen. Schließlich wird die Methode Multidimensional Positive Definite Advection Transport Algorithm (MPDATA) vorgestellt und analysiert.

Im Sinne des semi-Lagrangian Ansatzes wird die advektierte Größe analytisch \mbox{exakt} entlang von Trajektorien transportiert. Sie wird durch ein Polynom zweiten Grades dargestellt. Eine Bedingung für dieses Vorgehen ist die Beschränkung des Geschwindigkeitsfeldes auf stückweise lineare Funktionen. So wird die Herleitung der analytischen Lösung ermöglicht, die im Allgemeinen nicht polynomiell ist. Durch einen Projektionsschritt, ähnlich dem Vorgehen bei DG Verfahren, wird die Lösung auf ein Polynom projiziert. Nur dadurch entstehen Abweichungen zur analytischen Lösung. Die Idee der SASLDG Methode besteht darin, alle Schritte rigoros analytisch durchzuführen. Diese Methodik stellt allerdings komplexe Bedingungen an den Algorithmus und führt stellenweise zum Problem der Auslöschung. Dadurch sind Verzweigungen notwendig sowie alternative Berechnungswege.

Konsistenz und Stabilität wird durch eine Analyse des SASLDG Verfahrens gezeigt. Das Verfahren konvergiert mit zweiter Ordnung für variable Geschwindigkeit und mit dritter Ordnung für konstante Geschwindigkeit. Dies wird analytisch hergeleitet und mithilfe numerischer Konvergenztests bestätigt.

Die hohe Genauigkeit des SASLDG Verfahrens wird durch numerische Tests in 1D und 2D gezeigt. Dabei werden glatte Anfangswerte sowie Daten mit Diskontinuitäten verwendet. Tests in 1D liefern Ergebnisse auf regel- und unregelmäßigem Gitter sowie mit verschiedenen CFL Zahlen. Daraus resultiert, dass mit größerer CFL Zahl $l_{\infty}$- und $l_1$-Fehler sinken. Dieses Ergebnis gilt jedoch nicht für 2D-Testfälle aufgrund der Verwendung von ``operator splitting'', für das die Genauigkeit bei kleineren Schrittweiten steigt. Zahlreiche physikalische Phänomene, beispielsweise im Bereich der Dynamik der Atmosphäre und des Ozeans, erstrecken sich über unterschiedliche Raumskalen. Das kann zu Rechengittern führen, die in vertikaler Richtung eine viel höhere Auflösung mit kleinerer Gitterweite als in horizontaler Richtung erfordern. Eine dafür entwickelte hybride Methode, eine Kombination aus MPDATA und einer angepassten Variante des SASLDG Verfahrens, kann auf diesen Gittern ohne strikte Zeitschrittbeschränkung in vertikaler Richtung Lösungen berechnen. Insgesamt zeigt die in dieser Arbeit hergeleitete SASLDG Methode vielversprechende Resultate, die eine Weiterentwicklung des Verfahrens erstrebenswert machen.