Dynamic large deformation contact problems and applications in virtual medicine

Abstract

Dynamic large deformation contact problems arise in many industrial applications like auto mobile engineering or biomechanics but only few methods exists for their numerical solution, all having their advantages and disadvantages. In this thesis the numerical solution of large deformation contact problems is tackled from an optimisation point of view and an application of this approach within a femoroacetabular impingement analysis is described. In this thesis we use a non-smooth Hamilton principle and Fréchet subdifferential calculus to derive a weak formulation of the problem. The resulting subdifferential inclusion is discretised in time by constructing a contact-stabilised midpoint rule. For the spatial discretisation the state-of- the-art dual mortar method is applied which results in non-convex constrained minimisation problems that have to be solved solved during each time step. For the solution of these problems an inexact filter trust-region method is derived which allows to use inexact linearisations of the non-penetration constraints. This method in combination with fast monotone multigrid method is then shown to be globally convergent.

Die Hüftoperationsplanung heutzutage basiert trotz modernster Technologien immer noch hauptsächlich auf Röntgenbildern. Das Gelenkzentrum, die Grösse und die Position eines Implantats werden dabei oft nur mit Hilfe von simplen Schablonen bestimmt. Daraus resultierend lag die Rate an sekundären Hüftoperation im Jahre 2006 bei fast 15%. Ziel der Dissertation ist die Entwicklung eines patienten-spezifischen Finite-Element Hüftmodells, welches für die Schätzung der Spannungen während alltäglicher Bewegungen verwendet werden kann. Der Kern eines solchen Modells liegt in der akkuraten Modellierung und Simulation von dynamischen Kontaktproblemen mit grossen Deformationen. In dem ersten Teil dieser Arbeit leiten wir auf der Vorarbeit von "Kane et al., Finite element analysis of nonsmooth contact, 1999" eine neuartige Formulierung von Kontaktproblemen her, welche auf einer Erweiterung des Hamiltonschen Prinzips basieren. Diese Formulierung hat den Vorteil, dass die Kontaktkräfte nur implizit auftreten und variationell konsistent aus dem Residuum der gelösten Gleichung wiederhergeleitet werden können. Für diese schwache Formulierung entwickeln wir eine Stabilisierung der implizierten Mittelpunktsregel, welche das energetische Verhalten des Zeit-Integrators deutlich verbessert. Wegen der erschwerten theoretischen Analyse des Verfahrens, wird dieses nur numerisch getestet und Schritte zur weiteren Verbesserung vorgeschlagen. Das Hauptresultat dieser Arbeit liegt in der Entwicklung eines inexakten Filter Verfahrens für die Lösung der diskretisierten Probleme. Zur Beschleunigung des Lösers werden solange wie möglich approximierte Linearisierungen der Nicht-Durchdringungs-Bedingung verwendet, welche mit schnellen monotonen Mehrgitter Verfahren gelöst werden können. Die Erweiterung der monotonen Mehrgitter für nicht-konvexe Probleme, genauso wie ein Beweis der globalen Konvergenz wird hergeleitet und numerisch bestätigt. Ebenso wird die Konvergenz des inexakten Filter Verfahrens bewiesen, solange der Approximationsfehler der inexakten Linearisierung kontrolliert wird. Im zweiten Teil der Dissertation wird eine heterogenes Finite-Element Hüftmodell bestehend aus dem Femur und Pelvis Knochen und den drei Hauptbändern vorgestellt. Dies ist eine direkte Erweiterung des Knie- Modells "Oliver Sander et al., Towards an efficient numerical simulation of complex 3D knee joint motion" auf nichtlineare Materialien und gross e Deformationen. Im Zuge dessen wird eine neue Kontaktmodellierung, Diskretisierung und Lösungsverfahren für Cosserat Stäbe mit starren Hindernissen entwickelt, welche zur Darstellung der Bänder benutzt werden. Erste Ergebnisse einer Bewegungsraumanalyse und ein Vergleich mit einem Starrkörper-Ansatz werden durchgeführt.