Witt–vector structures on Nil–groups

Abstract

In this thesis, we study the Nil--groups appearing in the Bass--Heller--Swan decomposition on K-theory. These groups are hard to compute, but accessible through their module structure over W(Z), the Witt vector ring of the integers Z. We generalize this structure. For a profinite group G, we endow H*, an equivariant homology theory with restriction, with a module structure over B(G), the Burnside ring of G. Then, we give conditions on H* to extend its B(G)-module structure to a module structure over CBM(G), the completed Burnside ring of G. We show that when M=1 is the trivial monoid, G is the profinite completion of the infinite cyclic group and H* is the equivariant homology theory in the formulation of the Farrell-Jones conjecture, then the CBM(G)-module structure coincides with the W(Z)-module structure.

In der vorliegenden Dissertation wurden die Nilgruppen untersucht, die in der Bass--Heller--Swan Zerlegung der K-Theorie auftauchen. Diese Gruppen sind zwar schwer zu berechnen, jedoch zugänglich durch ihre Modulstruktur über W(Z), dem Wittvektor Ring der ganzen Zahlen Z. Wir verallgemeinern diese Struktur. Für eine profinit Gruppe G statten wir H*, eine äquivariante Homologietheorie mit Einschränkungen, mit einer Modulstruktur über B(G), dem Burnside Ring von G, aus. Dann geben wir Bedingungen für H* an, um ihre B(G)-Modulstruktur zu einer Modulstruktur über CBM(G), dem vervollständigte Burnside Ring von G, zu erweitern. Wir zeigen, dass, wenn M=1 das triviale Monoid ist, G die profinit Vervollständigung der unendlichen zyklischen Gruppen ist und H* die äquivariante Homologytheorie aus der Formulierung der Farrell-Jones Vermutung, dann die CBM(G)-Modulstruktur mit der W(Z)-Modulstruktur übereinstimmt.