Finite-amplitude gravity waves in the atmosphere: traveling wave solutions and stability

Abstract

Based on weak asymptotic solutions for nonlinear Wentzel-Kramers-Brillouin theory for finite-amplitude gravity waves in a non-uniformly stratified atmosphere, traveling wave solutions are derived and analyzed with respect to stability. From the nonlinear Euler equations, which are scaled favorable for statically unstable gravity waves, we derive modulation equations describing the evolution of the leading order amplitude, phase, and induced mean flow. They are in line with pseudo-incompressible theory which allows, in contrast to Boussinesq theory, for amplification of wave packets when they travel deep into the higher atmosphere. And in contrast to anelastic theory, it is also valid for strong stratification. Two classes of exact traveling wave solutions to the modulation equations are found. The first class propagates only in horizontal direction but applies to arbitrary non- uniform background stratification. The second class necessitates uniform, isothermal stratification but offers a vertical velocity component. For the first class we discover particular analytic solutions that are also validated numerically. In simulations, they exceeded significantly the expectations at the order of convergence with respect to the asymptotic parameter, such that we conclude that they are consistent with the full Euler dynamics. Furthermore, numerical experiments with the analytic solution as a reference are used for a grid convergence study. It is pointed out that the solutions resemble the structure of mountain lee waves. We show that they fulfill the non-acceleration theorem. Nevertheless, due to their nonlinear behavior, the solutions of the first class constantly exchange energy with the mean flow controlled by the mean- flow vertical shear rate. The second class features frontal-like, horizontal periodic solutions always traveling upwards. In their appearance, they are comparable with ship wakes. Although being of finite extend, the traveling wave front irreversibly decelerates the mean flow without breaking, which violates the non-acceleration theorem. In the process it constantly drains energy from the mean flow. Applying a spectral stability analysis, we reproduce the modulational instabilities of finite plane Boussinesq waves. The technique is then adopted to our modulation equations. It turns out that the traveling wave fronts are always unstable against infinitesimal perturbations. We linearize the scaled Euler equations at the most general traveling wave solutions. By a scaling suitable for dynamically unstable waves, we apply a WKB ansatz for the perturbation instead of the common normal-mode approach. The arisen system is solvable by Floquet theory. The outcome of this analysis reveals that the dynamics of small-scale perturbations is covered by Boussinesq theory which predicts parametric instability for all traveling wave solutions.

Basierend auf schwach asymptotischen Lösungen für nichtlineare Wentzel- Kramers- Brillouin Theorie für Schwerewellen mit finiter Amplitude in einer ungleichmäßig geschichteten Atmosphäre werden wandernde Wellenlösungen hergeleitet und be- züglich ihrer Stabilität untersucht. Von den nichtlinearen Eulergleichungen, welche für statisch instabile Wellen skaliert sind, leiten wir Modulationsgleichungen ab, die die Eulergleichungen im schwach asymptotischen Sinne lösen. Die Modulations- gleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung der Amplitude, Phase und des Grundstroms von führender Ordnung. Sie sind im Einklang mit der pseudoinkom- pressiblen Theorie, welche im Gegensatz zur Boussinesq-Theorie die Verstärkung eines Wellenpakets zulässt, wenn es in die obere Atmosphäre vordringt. Im Gegensatz zur anelastischen Theorie ist sie außerdem anwendbar im Falle starker Schichtung. Es werden zwei Klassen von wandernden Wellen als exakte Lösungen der Modulati- onsgleichungen entdeckt. Die erste Lösungsklasse propagiert nur horizontal, aber erlaubt dafür eine beliebig ungleichmäßige Hintergrundschichtung. Die zweite Klasse setzt eine gleichmäßige isotherme Schichtung voraus, bietet dafür aber auch eine Vertikalkomponente der Geschwindigkeit. Für die erste Klasse konnten partikuläre analytische Lösungen hergeleitet werden, die anschließend numerisch validiert werden. In den Simulationen wird die Erwartung über die Konvergenzordnung bezüglich des asymptotischen Parameters bei weitem übertroffen, sodass wir Konsistenz mit den vollen Eulergleichungen schlussfolgern. Desweiteren werden numerische Experimente mit den analytischen Lösungen als Referenz zur Konvergenzüberprüfung bezüglich der numerischen Auflösung durchgeführt. Es wird herausgestellt, dass die Lösungen der ersten Klasse Leewellen an Bergen ähnlich sind. Wir zeigen, dass sie den Grund- strom nur irreversibel verändern, falls sie brechen. Nichtsdestotrotz, aufgrund ihres nichtlinearen Verhaltens, tauschen sie kontinuierlich Energie mit dem Grundstrom aus, gesteuert durch die vertikale Windscherung des Grundstroms. Die zweite Klasse bietet Fronten ähnliche, horizontal periodisch wandernde Wellenlösungen, die immer aufwärts propagieren. Sie sind in ihrer Erscheinung vergleichbar mit Schiffswellen. Obwohl sie eine endliche Ausdehnung besitzen, bremsen die wandernden Wellenfron- ten den Grundstrom unumkehrbar ab, ohne aber dabei zu brechen, was der gängigen Theorie widerspricht. Bei diesem Prozess wird permanent Energie vom Grundstrom an die Welle übertragen. Durch die Anwendung der spektralen Stabilitätstheorie reproduzieren wir die Modulationsinstabilitäten für ebene Boussinesq-Wellen mit finiter Amplitude. Die Technik wird übenommen für unsere Modulationsgleichungen. Es stellt sich heraus, dass die wandernden Wellenfronten immer instabil sind gegen- über infinitesimalen Störungen. Wir linearisieren die skalierten Eulergleichungen um die allgemeinen wandernden Wellenlösungen. Mithilfe einer Skalierung passend zu dynamisch instabilen Wellen wenden wir eine WKB Näherung an, anstatt des üblichen Normalmoden-Ansatzen. Das entstandene System ist via Floquet-Theorie lösbar. Das Resultat dieser Untersuchung zeigt auf, dass die Dynamik kleinskaliger Störungen durch die Boussinesq-Theorie abgedeckt wird, welche vorhersagt, dass alle wandernden Wellenlösungen parametrisch instabil sind.