Topology and Geometry of Deformation Spaces of G-trees

Abstract

For a finitely generated group $G$, we study deformation spaces of metric $G$-trees, which are analogues of the Teichmüller spaces of surfaces for group actions on trees. Deformation spaces of metric $G$-trees generalize Culler- Vogtmann's Outer space, the deformation space of free actions on trees, which has proven to be immensely useful in the study of $Out(F_n)$, the outer automorphism group of the free group of rank $n\geq 2$. Let $\mathcal{D}$ be a deformation space of metric $G$-trees. The group of positive real numbers $\mathbb{R}_{>0}$ acts on $\mathcal{D}$ by scaling the metrics on the trees and we define the projectivized deformation space as the quotient $\mathcal{PD}=\mathcal{D}/\mathbb{R}_{>0}$. The outer automorphism group $Out(G)$ contains a certain subgroup $Out_\mathcal{D}(G)$ that acts on $\mathcal{D}$ and $\mathcal{PD}$ by precomposing the $G$-actions on the trees. In Chapter 1, we present a complete argument that under certain assumptions the projectivized deformation space $\mathcal{PD}$ is a model for the classifying space of $Out_\mathcal{D}(G)$ for a family of subgroups. In Chapter 2, we introduce an asymmetric pseudometric on $\mathcal{PD}$ that generalizes the asymmetric Lipschitz metric on Outer space and is an analogue of the Thurston metric on Teichmüller space. Making use of the Lipschitz metric on $\mathcal{PD}$, we prove existence of train track representatives for irreducible automorphisms of virtually free groups and nonelementary generalized Baumslag-Solitar groups that contain no solvable Baumslag-Solitar group $BS(1,n)$ with $n\geq 2$. In Chapter 3, we define the higher holomorphs $Aut(G,k), k\in\mathbb{N}$, which are "higher-pointed" variants of the automorphism group $Aut(G)$. Following the construction of the spine of Outer space, we construct a family of simplicial complexes $\mathcal{S}(\mathcal{PD},k), k\in\mathbb{N}$ on which certain subgroups $Aut_\mathcal{D}(G,k)\leq Aut(G,k)$ act and we show that these complexes are always contractible.

Im Rahmen dieser Arbeit studieren wir Deformationsräume metrischer $G$-Bäume für endlich erzeugte Gruppen $G$. Deformationsräume metrischer $G$-Bäume sind Analoga zu Teichmüller-Räumen von Flächen für Gruppenwirkungen auf Bäumen. Sie verallgemeinern Culler-Vogtmann's Outer space, den Deformationsraum freier Gruppenwirkungen auf Bäumen, welcher im Studium von $Out(F_n)$, der äußeren Automorphismengruppe der freien Gruppe vom Rang $n\geq 2$, eine zentrale Rolle spielt. Sei $\mathcal{D}$ ein Deformationsraum metrischer $G$-Bäume. Die Gruppe der positiven reellen Zahlen $\mathbb{R}_{>0}$ operiert auf $\mathcal{D}$ durch Skalieren der Metriken auf den Bäumen. Der projektivierte Deformationsraum ist der Quotient $\mathcal{PD}=\mathcal{D}/\mathbb{R}_{>0}$. Die äußere Automorphismengruppe $Out(G)$ enthält eine gewisse Untergruppe $Out_\mathcal{D}(G)$, die auf $\mathcal{D}$ und $\mathcal{PD}$ durch Präkomposition der $G$-Wirkungen auf den Bäumen operiert. In Kapitel 1 präsentieren wir einen vollständigen Beweis, dass der projektivierte Deformationsraum $\mathcal{PD}$ in bestimmten Fällen ein Modell für den klassifizierenden Raum von $Out_\mathcal{D}(G)$ für eine Familie von Untergruppen ist. In Kapitel 2 definieren wir eine asymmetrische Pseudometrik auf $\mathcal{PD}$, welche die asymmetrische Lipschitz-Metrik auf Outer space verallgemeinert und ein Analogon zur Thurston-Metrik auf dem Teichmüller-Raum einer Fläche darstellt. Mit Hilfe dieser zeigen wir, dass jeder irreduzible Automorphismus einer virtuell freien Gruppe oder einer nicht-elementaren verallgemeinerten Baumslag-Solitar-Gruppe, welche keine auflösbare Baumslag- Solitar-Gruppe $BS(1,n)$ mit $n\geq 2$ enthält, von einer Train-Track- Abbildung repräsentiert wird. In Kapitel 3 definieren wir die höheren Holomorphe $Aut(G,k), k\in\mathbb{N}$, welche "höher-punktierte" Varianten der Automorphismengruppe $Aut(G)$ darstellen. Analog zur Konstruktion des Spine of Outer space konstruieren wir eine Familie von simplizialen Komplexen $\mathcal{S}(\mathcal{PD},k), k\in\mathbb{N}$, auf denen gewisse Untergruppen $Aut_\mathcal{D}(G,k)\leq Aut(G,k)$ operieren, und wir zeigen, dass diese Komplexe immer kontraktibel sind.