Modellismus - Ein Beitrag zur Philosophie der modernen Mathematik

Abstract

Unser Beitrag zur Philosophie der Mathematik, den wir Modellismus nennen, ist weitgehend ein Kommentar zum philosophischenWerk von Henri Poincaré. Die Perspektive der zeitgenössischen Mathematik wird mit klassischen Theorien konfrontiert. Wir konstruieren den Modellismus als eine platonistische Fortsetzung des Konventionalismus. Den Sockel bildet die Apriorität der Anschauungsformen Raum und Zeit, die wir aus der Sicht der modernen Mathematik überarbeiten. Wir üben Kritik an dem Dilemma Benacerrafs, dem wir die Illumination entgegensetzen, die gute Semantik und gute Epistemik vereinbart. Wir setzen uns mit dem Spektrum der Philosophen zwischen den extremen Polen Realismus und Nominalismus auseinander. Wir lehnen den Logizismus ab und favorisieren den Fiktionalismus Balaguers. In Anlehnung an den Konventionalismus Poincarés und den Formalismus Hilberts besteht die Mathematik aus Modellen, die trotz vielfältiger Lösungswege die Wahrheit der Theoreme in der Sprache der Logik begründen. Für Poincaré ist die in der Intuition verspürte Harmonie das Werkzeug des Erfindens. Wir finden darin, eine Legitimation des Platonismus: der Mensch verlässt die platonistische Höhle nicht, jedoch versetzt ihn das Harmonieempfinden in die Lage, sich von der Ordnung der transzendenten Idee beim Modellieren anleiten zu lassen. Der Kantische Schematismus ist u.E. die geeignete Methode, um die moderne Mathematik zu durchleuchten. Dass wir von Kant die formale Deduktion der Anschauungsformen, die Exklusivität der euklidischen Geometrie und den Primat der sinnlichen Anschauung nur bedingt übernehmen, stellt nur kleinere Korrekturen dar, die das Fundament der Transzendentalphilosophie nur am Rande ankratzen.

Our contribution to the philosophy of mathematics, which we call Modelism, is to a large extent a commentary on the philosophical work of Henri Poincaré. We confront the viewpoint of contemporary mathematics with the classical theories. We construct Modelism as a platonistic extension of conventionalism. The human understanding forms of space and time, which we rework from the standpoint of modern mathematics, constitute our pedestal. We refute the dilemma of Benacerraf, as the phenomenon of illumination combines good epistemology with good semantics. We go into the spectrum of philosophy between the poles of realism an nominalism. We reject logicism and favour Balaguers fictionalism. In compliance with Poincaré's conventionalism and Hilbert's formalism mathematics is made of models, which in spite of the variety of procedures establish the truth of theorems in the language of logics. According to Poincaré the intuitive perception of harmony is the very tool of invention. We discover therein a legitimation of platonism: man does not map an unaccessible platonistic Idea of mathematics but his sense of harmony enables him to extract the regulating order from the transcendent Idea when elaborating human models. Kants schematism is to our mind the proper method when analysing modern mathematics. Although we advance objections against the Kantian formal deduction of the understanding forms, the exclusivity of euclidean geometry and the preference for sensual perception, there is only a need for minor adaptations, which do not affect the fundamentals of transcendental philosophy.