Piecewise Linear Morse Theory

Abstract

Classical Morse theory studies smooth manifolds by means of certain smooth real-valued maps defined on them, namely so called Morse functions, whose critical points are non-degenerate. For this study, topological changes of level sets are examined that occur when the level defined by a real function value varies. The results of the theory allow to infer global topological properties of the manifold from local changes at critical points. In this thesis, an analogous theory for combinatorial manifolds and piecewise linear maps defined on them is presented. The focus of the thesis lies on three topics: Our first aim is a careful step by step transfer of basic results and their proofs based on the study of level sets from classical Morse theory to the piecewise linear setting. A valuable tool is a thorough investigation of how a polyhedral complex with a map linear on its cells induces in a natural way for each level set defined as preimage of a closed interval a polyhedral complex whose domain is that level set. As another main topic of the thesis, we compare different characterisations of regular and non-degenerate critical points. Several definitions for such points turn out to be equivalent, but two characterisations suggested in the literature impose gradually weaker requirements on such points. In this context, we also present a method to convert a discrete Morse function on a combinatorial manifold into a piecewise linear Morse function whose critical points correspond to the critical cells of the discrete Morse function. The third topic addresses isotopies between level sets as considered in classical Morse theory as well. At least for sufficiently generic piecewise linear maps on combinatorial manifolds we prove the existence of isotopies across all level sets belonging to an interval provided that the interval contains no critical values. The thesis concludes with considerations concerning selected computational aspects. First, we discuss the decision problem whether a given point is regular or not. Second, the algorithmic construction of the isotopy between level sets is analysed in order to obtain an upper bound for the number of cells in the combinatorially equivalent complexes that represent the isotopy.

Klassische Morsetheorie betrachtet glatte Mannigfaltigkeiten und auf ihnen definierte Morsefunktionen, also glatte reellwertige Funktionen, deren kritische Punkte sämtlich nicht ausgeartet sind. Dazu werden abhängig von einem reellen Funktionswert die topologischen Änderungen der zugehörigen Niveaumengen untersucht. Die Ergebnisse der Theorie erlauben es, aus den lokalen Änderungen an kritischen Punkten Rückschlüsse über globale topologische Eigenschaften der Mannigfaltigkeit zu ziehen. In der vorliegenden Arbeit wird eine analoge Theorie für kombinatorische Mannigfaltigkeiten und auf ihnen definierten stückweise linearen Funktionen vorgestellt. Dabei stehen drei Themen im Vordergrund: Zunächst ist es das Ziel der Arbeit, die Herleitung der grundlegenden Ergebnisse der klassischen Morsetheorie aus der Betrachtung von Niveaumengen Schritt für Schritt auf den stückweise linearen Fall zu übertragen und sorgfältig ausgearbeitete Beweise für alle Schritte vorzulegen. Nützliches Hilfsmittel dafür ist die zunächst vorgenommene eingehende Untersuchung, wie ein polyedrischer Komplex mit einer Abbildung, die linear auf seinen Zellen ist, für jede als Urbild eines abgeschlossenen Intervalls definierte Niveaumenge auf natürliche Weise einen polyedrischen Komplex definiert, dessen zugrundeliegender Raum mit der Niveaumenge übereinstimmt. Als weiteres zentrales Thema der Arbeit werden verschiedene mögliche Charakterisierungen für reguläre und nicht ausgeartete kritische Punkte verglichen. Dabei erweisen sich eine Reihe der Definitionen für solche Punkte als äquivalent, aber zwei der in der Literatur vorgeschlagenen Charakterisierungen erheben graduell schwächere Forderungen an solche Punkte. In diesem Zusammenhang wird auch eine Methode vorgestellt, wie eine diskrete Morsefunktion auf einer kombinatorischen Mannigfaltigkeit in eine stückweise lineare Morsefunktion umgewandelt werden kann, deren kritische Punkte den kritischen Zellen der diskreten Morsefunktion entsprechen. Das dritte Thema betrifft Isotopien zwischen den Niveaumengen, wie sie auch in der klassischen Morsetheorie betrachtet werden. Zumindest für ausreichend generische stückweise lineare Abbildungen auf kombinatorischen Mannigfaltigkeiten wird die Existenz von Isotopien über alle einem Intervall zugehörigen Niveaumengen hinweg nachgewiesen, wenn das Intervall keine kritischen Werte enthält. Die Arbeit schließt mit Betrachtungen zu ausgewählten berechnungstheoretischen und algorithmischen Gesichtspunkten ab. Zum einen wird das Entscheidungsproblem erörtert, ob ein gegebener Punkt regulär ist. Zum anderen wird die algorithmische Konstruktion der Isotopie zwischen den Niveaumengen mit dem Ziel analysiert, eine obere Schranke für die Anzahl der Zellen in den kombinatorisch äquivalenten Komplexen zu finden, die die Isotopie repräsentieren.