Domain decomposition methods for elliptic problems with jumping nonlinearities and application to the Richards equation

Abstract

The thesis presents a new method for the solution of saturated-unsaturated groundwater flow problems in heterogeneous porous media. Concretely, highly nonlinear degenerate elliptic problems arising from a certain time discretization of the Richards equation are the basis of this work. The problems are considered as homogeneous in subdomains where a single soil prevails and, therefore, the parameter functions do not depend on space. These nonlinearities, however, may jump across the interfaces between the subdomains and, thus, account for the heterogeneous setting of different soil types in different subdomains. As a consequence, non-overlapping domain decomposition problems in which subproblems are coupled via nonlinear transmission conditions are obtained. In this work these problems are solved without any linearization. By Kirchhoff transformation the homogeneous subproblems are transformed into convex minimization problems. Here, additional constraints like Signorini-type boundary conditions, which occur on seapage faces around lakes, can be taken into account. Finite elements are chosen for the space discretization, and convex analysis is applied as the solution theory. Finally, monotone multigrid methods provide efficient solvers which are robust with respect to degenerating soil parameters. In order to deal with the coupling of the homogeneous subproblems, nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods are used. Here, the thesis provides new convergence results for these iterations applied to nonlinear elliptic problems in 1D as well as well- posedness results, which generalize existing linear theory. On the other hand, detailed numerical experiments demonstrate that the methods can also be applied successfully to problems in 2D. Finally, based on the artificial viscosity method, an upwind discretization with finite elements is developed in order to account for gravity. Hence, stability of the numerical solutions is obtained. In a closing numerical example the Richards equation is solved in 2D with four different soils and coupled to a surface water reservoir. The result demonstrates the applicability of the developed solution technique to a heterogeneous problem with realistic hydrological data.

In der Dissertation wird eine neue Methode zur Lösung von Problemen des gesättigt-ungesättigten Grundwasserflusses in heterogenen porösen Medien vorgestellt. Konkret bilden hochgradig nichtlineare degenerierte elliptische Probleme, welche durch eine bestimmte Zeitdiskretisierung der Richardsgleichung entstehen, die Grundlage dieser Arbeit. Die Probleme werden in Teilgebieten, wo ein gewisser Boden vorherrscht und daher die Parameterfunktionen nicht vom Ort abhängen, als homogen betrachtet. Diese Nichtlinearitäten dürfen allerdings über die Gebietsgrenzen zwischen den Teilgebieten springen und tragen auf diese Weise der heterogenen Situation verschiedener Bodentypen in verschiedenen Teilgebieten Rechnung. Infolgedessen erhält man nichtüberlappende Gebietszerlegungsprobleme, in denen die Teilprobleme über nichtlineare Übergangsbedingungen gekoppelt sind. Diese Probleme werden in der vorliegenden Arbeit ohne jegliche Linearisierung gelöst. Durch Kirchhoff-Transformation werden die homogenen Teilprobleme in konvexe Minimierungsprobleme transformiert. Hier können zusätzliche Hindernisse wie Signorini-artige Randbedingungen, die an Sickerflächen um Seen auftreten, berücksichtigt werden. Finite Elemente werden für die Ortsdiskretisierung herangezogen, und konvexe Analysis wird als Lösungstheorie angewandt. Schließlich liefern monotone Mehrgitter-Methoden effiziente Löser, die bezüglich degenerierenden Bodenparametern robust sind. Um mit der Kopplung der homogenen Teilprobleme umzugehen, werden nichtlineare Dirichlet-Neumann- und Robin-Methoden benutzt. Hier liefert die Dissertation neue Konvergenzresultate für diese Iterationen, angewandt auf nichtlineare elliptische Probleme in 1D, sowie Wohlgestelltheitsresultate, welche die vorhandene lineare Theorie verallgemeinern. Daneben wird durch detaillierte numerische Experimente aufgezeigt, dass die Methoden auch auf Probleme in zwei Raumdimensionen erfolgreich angewandt werden können. Schließlich wird, basierend auf der Methode der künstlichen Viskosität, eine Upwind- Diskretisierung mit finiten Elementen entwickelt, welche der Gravitation Rechnung trägt. Damit erhält man die Stabilität der numerischen Lösungen. In einem abschließenden numerischen Beispiel wird die Richardsgleichung in 2D mit vier verschiedenen Böden und gekoppelt an ein Reservoir mit Oberflächenwasser gelöst. Das Resultat demonstriert die Anwendbarkeit der entwickelten Lösungstechnik auf ein heterogenes Problem mit realistischen hydrologischen Daten.