Ball Packings and Lorentzian Discrete Geometry

Abstract

While the tangency graphs of disk packings are completely characterised by Koebe-Andreev-Thurston’s disk packing theorem, not so much is known about the combinatorics of ball packings in higher dimensions. This thesis tries to make a contribution by investigating some higher dimensional ball packings. The key idea throughout this thesis is a correspondence between balls in Euclidean space and space-like directions in Lorentz space. This allows us to interpret a ball packing as a set of points in the projective Lorentz space. Our investigation starts with Descartes’ configuration, the simplest ball packing studied in this thesis. It serves as the basic element for further constructions. Then we explicitly construct some small packings whose tangency graph can be expressed as graph joins, and identify some graph joins that are not the tangency graph of any ball packing. With the help of these examples, we characterise the tangency graphs of Apollonian ball packings in dimension 3 in terms of the 1-skeletons of stacked polytopes. Partial results are obtained for higher dimensions. Boyd-Maxwell packings form a large class of ball packings that are generated by inversions, generalising Apollonian packings. Motivated by their appearance in recent studies on limit roots of infinite Coxeter systems, we revisit Boyd-Maxwell packings. We prove that the set of limit roots is exactly the residual set of Boyd-Maxwell packings. Furthermore, we describe the tangency graph of a Boyd-Maxwell packing in terms of the corresponding Coxeter complex, and complete the enumeration of Coxeter groups generating these packings. We then propose a further generalization, which may exist in much higher dimensions. Motivated by a result of Benjamini and Schramm, we also study ball packings whose tangency graph is a higher dimensional grid graph. We give a loose bound on the size of such grid graphs that admit a ball packing.

Während die Kontaktgraphen von Kreispackungen vollständig durch den Satz von Koebe-Andreev-Thurston beschrieben sind, ist weniger über die Kombinatorik von Kugelpackungen in höheren Dimensionen bekannt. Diese Arbeit möchte einen Beitrag zu der Untersuchung von einigen höherdimensionalen Kugelpackungen liefern. Der Kerngedanke dieser Arbeit ist die Korrespondez zwischen Kugelpackungen im Euklidischen Raum und raumartigen Richtungen im Lorentzraum. Das ermöglicht es uns Kugelpackungen als Punktmengen im projektiven Lorentzraum aufzufassen. Unsere Untersuchung beginnt mit Descartes- Konfigurationen, der einfachsten Kugelpackung in dieser Arbeit. Sie dient als Grundelement für weitere Konstruktionen. Dann konstruieren wir explizit einige kleine Packungen, dessen Kontaktgraph sich als Join von Graphen darstellen lassen und finden Joins von Graphen, die sich nicht als Kontaktgraph einer Kugelpackung darstellen lassen. Mithilfe dieser Beispiele beschreiben wir die "tangency graphen" von Apollonischen Kugelpackungen in der Dimension 3 durch 1-Skelette von Stapelpolytopen. Für höhere Dimensionen werden Teilresultate erreicht. Boyd-Maxwell Packungen bilden eine große Klasse von Kugelpackungen, welche von Inversionen erzeugt werden; eine Verallgemeinerung von Apollonischen Packungen. Motiviert durch ihr auftreten in neueren Arbeiten über Grenzwerte von Wurzeln unendlicher Coxetersysteme betachten wir nochmals Boyd-Maxwell Packungen. Außerdem beschreiben wir den Kontaktgraph einer Boyd- Maxwell Packung durch den korrespondierende Coxeterkomplex und vervollständigen die Aufzählung von Coxetergruppen welche diese Packungen erzeugen. Dann schlagen wir weitere Verallgemeinerungen vor, die in viel höheren Dimensionen existieren könnten. Motiviert durch ein Ergebnis von Benjamini and Schramm untersuchen wir Kugelpackungen dessen Kontaktgraph ein höherdimensionaler Gittergraph ist. Wir bringen eine unscharfe Schranke der Größer solcher Gittergraphen welche eine Kugelpackung zulassen.