Intrinsic Discretization Error Bounds for Geodesic Finite Elements

Abstract

This work is concerned with the proof of optimal error bounds for the discretization of $H^1$-elliptic minimization problem with solutions taking values ​​in a Riemannian manifold. The discretization is done using Geodesic Finite Elements, a method of arbitrary order that is invariant under isometries. The discretization error is considered both intrinsically in a specially introduced Sobolev-distance as well as extrinsically. Optimal estimates of $H^1$- and $L^2$-type are shown, that have been observed experimentally in previous works of other authors. Using the Rothe method consisting of an implicit Euler method for the time discretization and Geodesic Finite Elements for the spatial discretization, error estimates for $L^2$-gradient flows of $H^1$-elliptic energies are derived as well. The core of the work is formed by the discretization error estimates for minimization problems in instrinsic $H^1$- and $L^2$-distances. To derive these, inverse estimates and interpolation errors for Geodesic Finite Elements and their discrete variations are shown. Using a nonlinear Cea's Lemma, this leads to the $H^1$-error estimate for minimizers of $H^1$-elliptic energies. A generalization of the Aubin-Nitsche-Lemma shows optimal $L^2$-error estimates for (essentially) semilinear energies, as long as the dimension of the domain of the minimizer is limited to $d<4$ for technical reasons. All results are illustrated using harmonic maps into a smooth Riemannian manifold satisfying certain curvature bounds as an example.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Beweis optimaler Fehlerschranken für die Diskretisierung $H^1$-elliptischer Minimisierungsprobleme, deren Lösungen Werte in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit annehmen. Die Diskretisierung wird dabei mithilfe Geodätischer Finiter Elemente durchgeführt, welche eine unter Isometrien invariante Methode beliebiger Ordnung darstellen. Der Diskretisierungsfehler wird sowohl intrinsisch in einer speziell eingeführten Sobolev-Distanz als auch extrinsisch betrachtet und es werden optimale Abschätzungen vom $H^1$- und $L^2$-Typ hergeleitet, die in vorausgegangenen Arbeiten anderer Autoren experimentell beobachtet wurden. Unter Verwendung der Rothe-Methode bestehend aus einem impliziten Eulerverfahren zur Zeitdiskretisierung und Geodätischen Finiten Elementen zur Ortsdiskretisierung werden zusätzlich Fehlerabschätzungen für $L^2$-Gradientenflüsse $H^1$-elliptischer Energien hergeleitet. Kern der Arbeit bilden die Diskretisierungsfehlerabschätzungen für Minimisierungsprobleme in intrinsischen $H^1$- und $L^2$-Distanzen. Zu deren Herleitung werden zunächst inverse Abschätzungen sowie Interpolationsfehler für Geodätische Finite Elemente und deren diskrete Variationen gezeigt. Unter Verwendung eines nichtlinearen Cea-Lemmas werden daraus $H^1$-Diskretisierungsfehler für Minimierer $H^1$-elliptischer Energien hergeleitet. Mit Hilfe einer Verallgemeinerung des Aubin-Nitsche-Lemmas werden sodann für (im Wesentlichen) semilineare Energien auch optimale $L^2$-Fehlerschranken gezeigt, wobei aus technischen Gründen die Dimension des Definitionsgebietes des Minimierers auf $d<4$ beschränkt wird. Alle Resultate werden anhand von harmonischen Abbildungen in eine glatte Riemannsche Mannigfaltigkeit, welche gewisse Krümmungsschranken erfüllt, illustriert.