Model Ensembles for Natural Resource Management: Extensions of qualitative differential equations using graph theory and viability theory

Abstract

The thesis studies infinite ensembles of ordinary differential equations with common monotonicity properties as they typically appear in sustainability research. New methods to process such ensembles are developed and applied for the model-based analysis of different sustainable resource use problems. Qualitative differential equations (QDEs) and differential inclusions are embedded into the new formal framework of model ensembles. A model ensemble is defined as a set of functions on a state space which specify initial value problems. For a QDE a matrix of signs is prescribed, and the model ensemble is the set of all functions where the coefficients of the Jacobian have the same signs as the coefficients of the prescribed matrix. The new methods are applied to the impoverishment-degradation spiral in developing countries, to fisheries management (in particular industrialised deep-sea fishery and participatory management), and to water management to avoid eutrophication. These applications pose special challenges for modelling, in particular knowledge uncertainties and the demand for generalisable results. It is shown that model ensembles are adequate for these challenges. Based on a new graph theoretical formulation of QDEs, four innovative techniques for the analysis of large QDEs are developed. For that, viability theory is used conceptually and methodologically for abstraction and restriction techniques. (i) The graph theoretical formulation of viable sets leads to the no-return abstraction, which is closely related to strongly connected components. This makes it possible to display large state-transition graphs in an aggregated way and to evaluate them with respect to sustainability criteria. (ii) By restricting the set of admissible solutions, edges with limited relevance can be eliminated from the state-transition graph. (iii) By restricting the model ensemble to systems where the coefficients of the Jacobian have a prescribed partial order, further paths can be eliminated. (iv) Finally, interval bounds for the coefficients of the Jacobian are considered. The applications show that the new methods strongly improve the identification of new and robust properties of very general models about the management of natural resources. Their advantages for the design of alternative policy options become clear.

Die Doktorarbeit studiert unendliche Ensembles gewöhnlicher Differentialgleichungen mit gemeinsamen Monotonieeigenschaften, wie sie in der Nachhaltigkeitsforschung auftreten. Es werden neue Verfahren zur Behandlung von solchen Ensembles entwickelt und zur modellgestützen analyse verschiedener Problemen des nachhaltigen Umgangs mit natürlichen Ressourcen erprobt. Qualitative Differentialgleichungen (QDEs) und Differentialinklusionen werden in den neu formalisierten Rahmen der Modellensembles eingebettet. Darunter versteht man eine Menge von Funktionen auf einem Zustandsraum, die Anfangswertprobleme definieren. Für eine QDE schreibt man eine Matrix von Vorzeichen vor und erhält als Modellensemble die Menge aller Funktionen, bei denen die Einträge der Jacobimatrix dem Vorzeichen nach der vorgeschriebenen Matrix entsprechen. Angewendet werden die neuen Methoden auf die Armuts- Degradations-Spirale in Entwicklungsländern, Fischereimanagement (insbesondere industrialisierte Hochseefischerei und partizipatorische Managementansätze), sowie Wassermanagement zur Vermeidung von Eutrophierung. Derartige Anwendung stellen besondere anforderungen an die Modellierung, insbesondere Unsicherheiten im Wissen und der Bedarf nach verallgemeinerbaren Resultaten. Es wird gezeigt, dass Modellensembles hierfür geeignet sind. Basierend auf der neu eingeführten graphentheoretischen Formulierung von QDEs werden vier innovative Verfahren zum Umgang mit großen QDEs entwickelt. Hierbei wird die Viabilitätstheorie begrifflich wie methodisch für Abstraktions- und Restriktionsverfahren eingesetzt. (i) Die graphentheoretische Fassung viabler Mengen führt zur No-return Abstraktion, die einen engen Bezug zu starken Zusammenhangskomponenten aufweist. Damit lassen sich Zustandsgraphen aggregiert darstellen und bezüglich Nachhaltigkeitsfragen evaluieren. (ii) Die Restriktion der zulässigen Lösungen erlaubt es, Kanten von untergeordneter Bedeutung aus dem Zustandsgraphen zu eliminieren. (iii) Die Restriktion auf Systeme, bei denen die Einträge der Jacobimatrix eine vorgegebene partielle Ordnung aufweisen, ermöglicht die Elimination weiterer Pfade. (iv) Zuletzt werden Intervallschranken für die Einträge der Jacobimatrix berücksichtigt. Die Anwendungen zeigen, dass mit diesen Methoden neue und robuste Eigenschaften auch sehr allgemeiner Modelle zum Management natürlicher Ressourcen gewonnen werden können. Ihre Stärken für den Entwurf alternativen Politikoptionen werden deutlich.