The Newtonian limit of geometrostatics

Abstract

This thesis studies the Newtonian limit of General Relativity (GR). The Newtonian limit can be described as the question if and how the classical Newtonian theory of gravity emerges as a limit of GR when the relevant speeds are small compared to the speed of light. On the one hand, this question is relevant for consistency reasons; on the other hand, it also has practical reasons as the Newtonian theory of gravity is still being used today for astrophysical, astronomical, and technical computations and observations. A deeper understanding of the Newtonian limit can furthermore improve and simplify relativistic modeling, numerical simulations, and physical interpretation. The mathematical study of the Newtonian limit is pursued in the language of frame theory. Frame theory has been suggested in the 1980s by Jürgen Ehlers. It allows for a uniform description of the Newtonian (coordinate variant) and the relativistic (coordinate invariant) theories of gravitation. More specifically, the thesis at hand uses Ehlers' frame theory to analyze the Newtonian limit of physical properties like mass and center of mass of a relativistic system. Its focus lies on the analysis of static isolated relativistic systems whose matter has compact support. For those systems, the author suggests the name ``geometrostatics'' in order to underline the relevance of geometry and to distinguish the theory from the more general theory of geometrodynamics. By establishing suitable analogies to the Newtonian theory of gravitation, the consideration of the Newtonian limit of geometrostatics also leads to a deeper understanding of geometrostatics itself. Tightly connected therewith is the pseudo-Newtonian theory of gravitation which emerges from geometrostatics by a conformal transformation. This theory is particularly useful for studying its Newtonian limit. The pseudo-Newtonian theory moreover helps to imitate many Newtonian concepts within geometrostatics. In this sense, this thesis formulates a second Newtonian law of motion, characterizes equipotential surfaces, and clarifies uniqueness questions concerning geometric and physical properties. In the framework of geometrostatics and the pseudo-Newtonian theory of gravitation, this thesis develops new quasi-local definitions and formulae for the mass and the center of mass of a physical system. Those are related to the asymptotic behavior of the geometrostatic variables as well as to the relativistic asymptotic concepts of mass and center of mass of GR. The new notions differ from the established ones in that they are not only determined asymptotically but already in an immediate neighborhood of the matter. Therefore, they constitute a new tool for the analysis of static systems. At the same time, they enable the author to prove convergence of mass and center of mass in the Newtonian limit. This proof is discussed in the last chapter of this thesis.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Newtonschen Limes der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Dabei geht es um die Frage, ob und in welcher Weise die klassische Newtonsche Gravitationstheorie als Grenzwert für im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit kleine Geschwindigkeiten aus der ART hervorgeht. Diese Frage ist einerseits aus Konsistenzgründen relevant, andererseits hat sie auch praktische Gründe, wird doch die Newtonsche Gravitationstheorie auch heute noch für astrophysikalische, astronomische und technische Berechnungen und Beobachtungen eingesetzt. Des Weiteren kann ein vertieftes Verständnis des Newtonschen Limes relativistische Modellierung, numerische Simulation und physikalische Interpretation verbessern und vereinfachen. Die mathematische Untersuchung des Newtonschen Limes erfolgt dabei in der Sprache der Rahmentheorie, die in den 1980er Jahren von Jürgen Ehlers vorgeschlagen wurde. Diese ermöglicht eine einheitliche Beschreibung der Newtonschen (koordinatenabhängigen) Gravitationstheorie und der (koordinatenunabhängigen) ART. Die vorliegende Arbeit nutzt die Ehlerssche Rahmentheorie, um speziell den Newtonschen Limes physikalischer Größen wie Masse und Schwerpunkt eines relativistischen Systems zu analysieren. Dabei beschränkt sie sich auf die Untersuchung statischer isolierter relativistischer Systeme, deren Materie einen kompakten Träger besitzt. Für diese schlägt sie den Namen ``Geometrostatik'' vor, um die Bedeutung der Geometrie hervorzuheben und die Theorie von der allgemeineren Geometrodynamik abzugrenzen. Die Betrachtung des Newtonschen Limes der Geometrostatik führt dabei durch Analogiebildung mit der Newtonschen Theorie auch zu einem vertieften Verständnis der Geometrostatik selbst. In engem Zusammenhang damit steht die pseudo-Newtonsche Gravitationstheorie, die durch eine konforme Transformation aus der Geometrostatik hervorgeht und sich besonders gut für die Untersuchung des Newtonschen Limes derselben eignet. Mit deren Hilfe lassen sich viele Newtonsche Konzepte auf die Geometrostatik übertragen. So werden in dieser Arbeit beispielsweise ein Zweites pseudo-Newtonsches Bewegungsgesetz formuliert, eine Charakterisierung von Äquipotentialflächen vorgenommen und Eindeutigkeitsfragen in Bezug auf geometrische und physikalische Größen beantwortet. Im Rahmen von Geometrostatik und pseudo-Newtonscher Gravitationstheorie leitet diese Arbeit außerdem neue quasi-lokale Definitionen und Formeln für die Masse und den Schwerpunkt eines physikalischen Systems her. Diese werden mit dem asymptotischen Verhalten der geometrostatischen Variablen sowie mit den bereits in der ART vorhandenen asymptotischen Konzepten von Masse und Schwerpunkt in Beziehung gesetzt. Die neuen Begriffe unterscheiden sich von den bisherigen dadurch, dass sie nicht erst asymptotisch, sondern direkt in der unmittelbaren Umgebung der Materie bestimmt werden können und stellen damit ein neues Werkzeug zur Analyse statischer Systeme dar. Gleichzeitig ermöglichen sie den Nachweis der Konvergenz von Masse und Schwerpunkt im Newtonschen Limes, der im letzten Kapitel dieser Arbeit erbracht wird.