Energietransfer auf nichtlinearen Doppelketten

Abstract

Eine Verallgemeinerung der Theorie der Davydov'schen Solitonen brachte das Modell einer diskreten self-trapping Gleichung hervor. Sie wurde 1984 von Eilbeck, Lohmdahl und Scott zur detaillierten Untersuchung von self-trapping Mechanismen eingeführt. Die Analyse von Modellen, die durch die diskrete self- trapping Gleichung beschrieben wurden, lieferte neue Erkenntnisse über Hamilton'sche Systeme wie z. B. das untypische Auftreten von Ordnung in nichtlinearen oder chaotischen Systemen. Im Rahmen dieser Arbeit bildet die diskrete self-trapping Gleichung eine Grundlage zur Aufklärung von Energietransfermechanismen innerhalb von zweidimensionalen Kettensystemen, die aus untereinander gekoppelten, nichtlinearen Oszillatoren zusammengesetzt sind. Das System stellt eine Diskretisierung der nichtlinearen Kontinuums-Schrödingergleichung dar. Die diskrete self-trapping Gleichung ist dabei eine Möglichkeit, das System von nichtlinearen, diskreten Gitter-Schrödingergleichungen zu beschreiben. Darauf aufbauend, liegt der Schwerpunkt der Untersuchungen dieser Arbeit in einer detaillierten Aufklärung der Energietransfermechanismen innerhalb eines nichtlinearen Doppelkettensystems als Modell für Donator-Akzeptor-Systeme organischer oder anorganischer molekularkristalliner Strukturen und elektrische Netzwerke. Es ist gelungen, eine zeitlich stabile Amplitudenverteilung auf dem zweidimensionalen Kettensystem zu finden. Damit wurde die Existenz eines stabilen, regulären Zustandes in Form einer räumlich lokalisierten Amplitudenverteilung bewiesen. Das nichtintegrable, chaotische System ist in der Lage, auf bestimmte Amplitudenverteilungen dahingehend selbstorganisierend einzuwirken, daß diese forminvariant für alle Zeiten erhalten bleiben. Dafür ist dem System gekoppelter, nichtlinearer Differentialgleichungen eine vierdimensionale Abbildung zugeordnet worden, deren Verhalten in der Nähe von hyperbolischen Fixpunkten homoklines Chaos aufweist. Der zugehörige homokline Orbit liefert die Informationen für die stabile Amplitudenkonfiguration. Die homoklinen Punkte des Orbits konnten mit Hilfe des Melnikovvektors berechnet werden. Es ist demnach möglich, dem chaotischen System ``von außen'' eine bestimmte räumliche Energieverteilung einzuspeisen, auf die das System selbstlokalisierend reagiert. Die streng räumlich lokalisierte Energie kann innerhalb des Systems an andere Orte transferieren, wobei lokale effektive Potentialbarrieren überwunden werden müssen. Dies kann durch eine geeignete Wahl der ketteninternen Kopplungsparameter, der Nichtlinearitätsparameter und durch Aufprägen einer Phasendrift erreicht werden. Wird eine der beiden Ketten energetisch angeregt, so kann ein Energietransfer über Kopplungsbrücken auf die Nachbarkette stattfinden. Die günstigste Voraussetzung hierfür ist gegeben, wenn die Frequenzen der Kettenoszillatoren auf beiden Ketten identisch sind sowie eine große Anzahl von Kopplungsbrücken existiert. Für die integrale Energieänderung wurde eine lineare Abhängigkeit von der Breite des Kopplungsgebietes gefunden, wenn die Kettenstränge identisch sind. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß das Amplitudenprofil beim Durchlaufen des Kopplungsgebietes eine Änderung in der Phase oder in der Form erfährt. Auch bei unterschiedlich gearteten Kettensträngen ist ein hoher Energieübertrag von etwa neunzig Prozent der Anregungsenergie realisierbar. Dabei spielt die räumliche Verteilung der Kopplungsbindungen zur Nachbarkette eine entscheidende Rolle. Es gelang, die Existenz eines Extremalwertes der integralen Energieänderung in Abhängigkeit der Kopplungsgebietsbreite zu zeigen. Weiterhin konnte eine Gleichung aufgestellt werden, die die Parameter Kopplungsgebietsbreite, Gruppengeschwindigkeit der Solitonstruktur und Frequenzdifferenz der Kettenoszillatoren hinsichtlich einer Übertragungsmaximierung in Beziehung setzt. Es zeigte sich, daß die, ausschließlich für die integrable eindimensionale Ablowitz-Ladik-Kette existierenden, analytischen Solitonlösungen auch auf Doppelkettensystemen hohe Stabilität zeigen. Deshalb wurden für formal- analytische Rechnungen diese Solitonlösungen als Fitfunktionen für die stabilen Amplitudenprofile, die sich aus der Berechnung von homoklinen Orbits ergaben, benutzt. Sämtliche Ergebnisse zeigen keine Abhängigkeit von der gewählten Kettenlänge und sind deshalb auf Systeme mit quasi beliebiger Anzahl von Kettengliedern übertragbar, wenn eine Mindestlänge (ca. 20 Kettenplätze), die zur Ausbildung einer solitonartigen Struktur benötigt wird, gewährleistet ist. Die Aufklärung der Energietransfermechanismen zwischen gekoppelten Kettensträngen nichtlinearer Oszillatoren, die eine starke Abhängigkeit von der Beschaffenheit des Kopplungstyps aufweisen, ist im Rahmen dieser Arbeit erstmals behandelt worden.

Discrete nonlinear lattice systems have attracted considerable interest in the last years. It is well established that nonlinear lattice systems may exhibit selflocalized excitations in form of solitons or breathers which are spatially localized and time-periodic solutions. In the present work we discuss wave transmission and localization properties in a system of two coupled onedimensional nonlinear chains. The equations we used to discribe the models are discrete nonlinear Schrödinger equations. Their study is done with a dynamical systems approach. Nonlinearity and discreteness conspire into producing localized modes as well as global lattice properties which do not exist in continous models. Many investigations have been performed to explore the stationary and dynamical properties of self-localized states, but most studies focused on systems extending in one spatial direction only. This thesis have the aim to investigate the properties and dynamics of two coupled discrete nonlinear chains, which are built up by an infinite set of nonlinear oszillators distributed in space. There are different possible discretizations of the continuum nonlinear Schrödinger equation as a model of significant physical relevance. All these different discretizations are nonintegrable in the case of modelling a double chain of coupled nonlinear oszillators. Therefore numerical simulations have been an important tool to investigate great sets of nonintegrable differential equations. The physical contexts of the nonlinear Schrödinger equation are ranging from optical pulse propagation in nonlinear fibres to condensed matter physics, fluid mechanics and biophysics. We undertake a detailed discussion of the stationary properties of the generalized discrete nonlinear Schrödinger equation (GDNLS) which interpolates between the discrete selftrapping equation (DST) and the Ablowitz-Ladik equation (AL), which are discretizations of the continuum nonlinear Schrödinger equation as well. We apply the Melnikov method to get localized stationary excitations on the double chain, which are stable in space and time. Therefore we study the homoklinc behaviour nearby hyperbolic fixpoints of the coresponding nonlinear map, which we get from a stationary ansatz. Homoklinic chaos of the map is the prior condition to find stable oszillator amplitude distributions on the double chain. Furthermore we discuss in detail the energy transfer properties of a moving localized excitation between the coupled chains. We focus on the parameter dependence of the energy transfer and investigate the coupling constitution which provides a maximal energy exchange between the onedimensional lattices with the aim to model donator-acceptor systems consisting of two different coupled nonlinear chains.