Discretization and approximation of the shape operator, the Laplace-Beltrami operator, and the Willmore energy of surfaces

Abstract

This thesis deals with discrete differential geometric properties of polyhedral surfaces in Euclidean 3-space. We develop a description of the curvatures of polyhedral surfaces based on a generalization of the shape operator, and we construct discretizations of the (strong form of the) Laplace-Beltrami operator and of the Willmore energy. The focus of our analysis is on approximation properties of the introduced discretizations. In particular, we show that the generalized shape operators can be used to approximate the classical shape operator of a smooth surface, and we prove the consistency of the discrete Laplace-Beltrami operators and the discrete Willmore energies. In addition, we consider a problem in geometry processing: the fairing of polyhedral surfaces. We develop a scheme for fairing under spatial constraints.

Die diskrete Differentialgeometrie ist ein mathematisches Gebiet, in dem diskrete Entsprechungen zu Begriffen und Konzepten der klassischen und modernen Differentialgeometrie glatter Mannigfaltigkeiten konstruiert und analysiert werden. In dieser Arbeit befassen wir uns mit polyedrischen Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum. Wir entwickeln eine Beschreibung der Krümmungen polyedrischer Flächen basierend auf einer Verallgemeinerung der Weingartenabbildung und konstruieren Diskretisierungen (der starken Form) des Laplace-Beltrami-Operators und der Willmore-Energie. Der Fokus der Arbeit liegt auf Approximationseigenschaften der eingeführten Diskretisierungen. Insbesondere zeigen wir, dass die verallgemeinerte Weingartenabbildung auf polyedrischen Flächen benutzt werden kann, um die klassische Weingartenabbildung einer glatten Fläche zu approximieren. Zusätzlich zeigen wir die Konsistenz der diskreten Laplace-Beltrami-Operatoren und der diskreten Willmore-Energien. Zusätzlich behandeln wir ein Problem der Geometrieverarbeitung: die Glättung polyedrischer Flächen. Wir entwickeln ein Verfahren zur Glättung mit räumlichen Nebenbedingungen.