A tracer bead attached to the cytoskeleton of a living cell shows two distinct types of anomalously diffusive behavior on different time scales: For times shorter that a few seconds, the motion is subdiffusive, with a diffusion exponent smaller than one, while on longer time scales, superdiffusive motion, with a diffusion exponent bigger than one, is prevalent. We introduce a stochastic model aimed at describing this transition, as well as the characteristic features of both the subdiffusive and superdiffusive motion. Our model is based on the fractional Langevin equation, which accurately reproduces the subdiffusive dynamics in a viscoelastic equilibrium environment. However, living cells are fundamentally out-of-equilibrium systems, and we accommodate this fact by including the motion of the cytoskeleton due to molecular motor activity as a nonequilibrium random process. In this way, our model accurately reproduces the transition from sub- to superdiffusion using a single stochastic equation of motion. It is also able to take into account the experimentally observed non-Gaussian behavior of the superdiffusive dynamics. As a direct consequence of our model, we obtain a generalized nonequilibrium Stokes-Einstein relation in terms of an effective temperature. This relation provides a connection between the diffusive dynamics and the mechanical response of the system, which is generally absent in nonequilibrium systems. Moreover, our model gives rise to an effective nonequilibrium noise force, which is nonstationary and possesses a time- dependent spectral density. This nonequilibrium noise can serve to classify the nonequilibrium dynamics in living cells. The superdiffusive dynamics employed in our model, has the important properties of being asymptotically time-scale invariant. We present a general framework for treating such scale- invariant superdiffusive processes, based on a nonstationary scaling correlation function. Within this framework we develop generalizations for the Green-Kubo formula and for the Wiener-Khinchine theorem, both of which are, in their original formulation, only applicable to stationary systems. Our scaling Green-Kubo relation enables us to determine the anomalous diffusion coefficient for superdiffusive processes. It exposes an intricate dependence of this diffusion coefficient on the initial state of the system, as well as an intimate connection between stationarity and ergodicity. The corresponding scaling Wiener-Khinchine relation, on the other hand, allows us to determine the spectral density from the asymptotic scaling properties of the correlation function and relates the scale-invariant processes to 1/f-noise.
Eine Tracerpartikel, die an das Zytoskelett einer lebenden Zelle gebunden ist, zeigt, abhängig von der betrachteten Zeitskala, zwei unterschiedliche Formen von anomaler Diffusion: Für Beobachtungszeiten unterhalb von ein paar Sekunden ist die Bewegung des Teilchens subdiffusiv; hier ist der Diffusionsexponent kleiner als eins. Beobachtet man das Teilchen länger, stellt sich Superdiffusion mit einem Diffusionsexponenten größer als eins ein. Wir führen ein stochastisches Modell ein, das darauf abzielt, diesen Übergang und gleichsam das charakteristische Verhalten im sub- wie im superdiffusiven Bereich zu beschreiben. Unser Modell basiert auf der fraktionalen Langevin- Gleichung, die eine gute Beschreibung des subdiffusiven Verhaltens eines viskoelastischen Systems im Gleichgewicht liefert. Allerdings sind lebende Zellen ihrer Natur nach nicht im Gleichgewicht. Wir tragen dem Rechnung, indem wir die Bewegung des Zytoskeletts aufgrund der Aktivität molekularer Motoren als Zufallsprozess in unserem Modell berücksichtigen. Auf diese Weise ist unser Modell in der Lage, den Übergang zwischen Sub- und Superdiffusion mittels einer einzigen, stochastischen Bewegungsgleichung für den Tracer zu beschreiben. Eine direkte Konsequenz dieser Beschreibung ist eine Verallgemeinerung der Stokes-Einstein-Relation auf den Nichtgleichgewichtsfall mittels einer effektiven Temperatur. Diese stellt eine Verbindung zwischen dem diffusiven Verhalten und der mechanischen Antwort des Systems her, die für Systeme im Nichtgleichgewicht im Allgemeinen nicht besteht. Darüber hinaus ergibt sich aus unserem Modell ein effektives Nichtgleichgewichtsrauschen, das nichtstationär ist und eine zeitabhängige spektrale Dichte besitzt. Die Eigenschaften dieses Rauschens können zur Klassifikation der Nichtgleichgewichtsdynamik in lebenden Zellen dienen. Die superdiffusive Dynamik, die in unserem Modell zum Einsatz kommt, besitzt zeitliche Skaleninvarianz. Für derartige skaleninvariante Prozesse erschließen wir einen allgemeinen Satz von Eigenschaften und Relationen, der auf der Definition einer nichtstationären skaleninvarianten Korrelationsfunktion aufbaut. Unter anderem erhalten wir Verallgemeinerungen der Green-Kubo-Formel und des Wiener- Khinchine-Theorems; beide sind in ihrer ursprünglichen Formulierung nur auf stationäre Prozesse anwendbar. Unsere skaleninvariante Green-Kubo-Relation ermöglicht es uns, den anormalen Diffusionskoeffizienten für superdiffusive Prozesse zu berechnen. Sie enthüllt außerdem eine komplizierte Abhängigkeit ebendieses Diffusionskoeffizienten vom Anfangszustand des Systems, sowie eine enge Verbindung zwischen Stationarität und Ergodizität. Die Verallgemeinerung des Wiener-Khinchine-Theorems dagegen erlaubt uns, die spektrale Dichte von skaleninvarianten Prozessen aus dem asymptotischen Verhalten ihrer Korrelationsfunktion zu bestimmen und bringt diese Prozesse dadurch mit 1/f-Rauschen in Verbindung.
