Reduced basis method for electromagnetic scattering problems

Abstract

A main objective of numerical analysis and modeling is the simulation of complex technological problems, arising in engineering and natural sciences. Numerical simulations help to understand, design and optimize, or control and characterize systems or components. Usually the behaviour of a system is described by physical quantities like temperature, stress, or electromagnetic fields. These fields are solutions to partial differential equations (PDEs), which are stated on the domain of interest with appropriate boundary conditions. Since in general the analytical solution to a PDE is unavailable, a discretization procedure such as finite element, finite, discontinuous Galerkin, or finite volume method has to be applied. The discretized system is then solved numerically. For real world problems the numerical solution is usually expensive, regarding computational resources and time. Computational times can be of the order of seconds, up to hours and days, and even many problems can not be solved at all with reasonable effort due to their complexity. In engineering applications like optimization or parameter estimation the discretized models have to be solved multiply for different configurations of the system under consideration, for example, regarding geometrical or material parameters. Hence, a large number of solutions for different parameters are required in reasonable time (many-query context), or a single solution has to be computed very fast (real-time context). Even for moderate problems these requirements can often not be met with above discretization methods. In applications usually the output of interest is not the solution of the PDE itself, but some derived quantities. Hence, a method for fast and reliable evaluation of input-output relationships is desirable. The input are, for example, geometrical or material parameters of the system under consideration. The output is given implicitly as a functional of the field variable, which is the solution to the input parameter dependent PDE. The reduced basis method offers a way to construct approximations to such input-output relationships, which can be evaluated very fast. The key is an online-offline decomposition. In a so-called offline phase the reduced model is built self-adaptively. In an actual application (online phase) only the reduced model is solved. Rigorous error estimation techniques allow to control and quantify the accuracy of the approximative reduced model, such that reduced basis solutions are reliable. In the present work we developed efficient techniques for the reduced basis method for electromagnetic scattering problems, with a focus on application to real world nano-optical problems. Especially in the field of a posteriori error estimation and multiple sources, established techniques were found to be infeasible and had to be further developed, in order to treat complex geometries in 2D and 3D and complex sources. Savings of computational costs of several orders of magnitude, could be demonstrated, compared to state-of-the-art methods. In application examples our results showed that the reduced basis method is very well suited for complex engineering tasks like real-time inverse scatterometry, parameter estimation, and design optimization of optical systems.

Eine Hauptaufgabe von numerischer Analysis und Modellierung ist die Simulation komplexer technologischer Probleme im ingenieur- und naturwissenschaftlichen Bereich. Simulationen helfen, Systeme oder Komponenten besser zu verstehen, zu designen, zu optimieren oder zu charakterisieren. In vielen Anwendungsfeldern, wie numerischem Design, Parameterrekonstruktion oder bei inversen Problemen werden im Allgemeinen eine Vielzahl von Simulationen eines gegebenen Systems in Abhängigkeit von z.B. Geometrie- oder Materialparametern durchgeführt. Oft besteht dabei Echtzeitanforderung, so dass kurze Rechenzeiten des Vorwärtsproblems unverzichtbar sind. Vor allem für 3D-Probleme sind die Zeiten für die Berechnung einer einzigen Vorwärtslösung dafür jedoch oft zu lang. Thema der vorliegenden Arbeit ist die Reduzierte Basis Methode, die zum Ziel hat, parametrisierte Probleme in obigen Anwendungsfeldern in Echtzeit zu lösen. Die Grundidee besteht darin, den Lösungsprozess in eine langsame Offline- und einen schnelle Online-Phase aufzuspalten. In der Offline-Phase wird das zu Grunde liegende Problem mehrmals rigoros gelöst, wobei längere Rechenzeiten in Kauf genommen werden. Diese Lösungen bilden die Basis eines reduzierten niedrigdimensionalen Systems, das man durch Projektion aus dem ursprünglichen Problem erhält. Im Online-Schritt wird lediglich das reduzierte Problem gelöst. Da die Reduzierte Basis Methode Näherungslösungen liefert, ist es für die Qualität und Verlässlichkeit der Rechnungen von großer Bedeutung, rigorose Fehlerschätzer zu konstruieren. Anwendungsfeld dieser Arbeit ist das Gebiet "Computational Nano-Optics'', das sich mit der Lösung der Maxwellgleichungen in nanostrukturierten Systemen beschäftigt. Speziell werden Streuprobleme auf unbeschränkten, geometrisch parametrisierten 3D-Gebieten betrachtet. Vor allem auf dem Gebiet der a posteriori Fehlerschätzung sind bisherige ``State-of-the-Art'' Reduzierte Basis Methoden aufgrund extrem hohen Aufwands praktisch nicht durchführbar, um komplexe geometrisch parametrisierte Systeme in 2D und 3D zu behandeln. Daher wurde in der vorliegenden Arbeit ein neuer Fehlerschätzer entwickelt, der den Rechen- und Speicheraufwand um mehrere Größenordnungen reduziert. Dieser basiert auf Gebietszerlegungsmethoden, die auch für Fehlerschätzung von Finite Elemente Lösungen verwendet werden. Desweiteren wurde eine neue Technik für die Reduzierte Basis Methode entwickelt, die es erlaubt, die Reaktion von Systemen unter dem Einfluß einer Vielzahl von Quellen extrem effizient zu berechnen. Dies ist eine typische Situation in vielen nanooptischen Anwendungen, z.B. in der Lithographie. Als numerische Beispiele wurde die Optimierung von Photomasken und die inverse Scatterometrie von EUV (extrem ultraviolett) Masken untersucht. Die Arbeiten zur inversen Scatterometrie wurden in Kollaboration mit der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) am Berliner Elektronensynchrotron BESSY II (experimentelle Messungen) und dem Advanced Mask Technology Center (Herstellung einer EUV Testmaske und Mikroskopie) durchgeführt. Aufgrund der vielversprechenden Ergebnisse wird eine Prototypimplementierung der in dieser Arbeit entwickelten Methoden für die Auswertung von Streuexperimenten an der PTB eingesetzt.