Optical Tomography Based on the Equation of Radiative Transfer

Abstract

Optical tomography is a non-invasive medical imaging modality that utilizes measurements of transmitted near-infrared light to reconstruct the distribution of optical properties inside the human body, such as for the determination of blood oxygenation, functional imaging of brain activities, and early diagnosis of rheumatoid arthritis in finger joints. The majority of currently applied image reconstruction schemes rely on the validity of the diffusion equation for the description of light propagation in tissue. Unfortunately, the diffusion equation does not accurately describe light propagation in media that contain low-scattering regions. This work addresses these shortcomings by developing a novel model-based iterative image reconstruction scheme for optical tomography. It consists of two major parts: (1) a forward model for light propagation and (2) an inverse model. The forward model predicts the detector readings on the tissue boundary given a source and distribution of optical parameters inside the medium. The equation of radiative transfer, unlike the diffusion equation, describes correctly as a forward model the photon propagation in turbid media containing low-scattering areas. The equation of radiative transfer is numerically solved by means of a finite difference discrete ordinates method. In contrast, the inverse model determines the optical parameters inside tissue, given a set of detector readings on the boundary of tissue. The inverse model is viewed as a large- scale nonlinear optimization problem. The measured fluence on the boundary is compared to the predicted detector readings by defining an objective function. The objective function is iteratively minimized by a nonlinear conjugate gradient technique, or by quasi-Newton methods. These techniques use the first derivative of the objective function with respect to the optical parameters for calculating search directions towards the minimum. Forward and inverse model are iteratively employed until self-consistency is reached. A major obstacle is the computationally efficient calculation of the first derivative of the objective function with respect to the optical parameters because the objective function depends on approximately 10,000 unknown optical parameters. We calculate the derivative by utilizing an adjoint differentiation technique that is a particular numerical implementation of an adjoint model. We apply the adjoint differentiation technique for the first time to the equation of radiative transfer. We show reconstructed sagittal images of optical parameters of a human finger joint. We emphasize the potential application for the early diagnosis of rheumatoid arthritis in a numerical study.

Die optische Tomographie mittels nah-infrarotem (NIR) Licht ist ein nicht- invasives medizinisches Bildgebungsverfahren. Die Verteilung der optischen Parameter (Streu- und Absorptionskoeffizient) im menschlichen Koerper wird rekonstruiert und in Schnittbildern dargestellt. Diese Bilder liefern medizinisch relevante Informationen, wie z.B. ueber den Zustand der Blutoxygenierung, zur funktionellen Diagnostik von Gehirnaktivitaeten, oder zur Fruehdiagnose der rheumatischen Arthritis in Fingergelenken. Die Mehrheit der zur Zeit verwendeten Bildrekonstruktionsverfahren basiert auf der Gueltigkeit der Diffusionstheorie zur Beschreibung der Lichtausbreitung in menschlichem Gewebe. Die Diffusionstheorie beschreibt jedoch nicht korrekt die Ausbreitung von NIR Licht in schwach streuendem Gewebe, wie z.B. bei der cerebrospinalen Fluessigkeit im Gehirn oder bei der Synovialfluessigkeit in Fingergelenken. Diese Arbeit behandelt erstmals die Rekonstruktion der optischen Parameter mittels der Transporttheorie zur Lichtausbreitung in stark und schwach streuendem Gewebe. Es wurde ein modellbasiertes iteratives Bildrekonstruktionsverfahren entwickelt, das aus zwei Teilen besteht: (1) ein Vorwaertsmodell zur Lichtausbreitung und (2) ein inverses Modell zur Bestimmung der optischen Parameter im NIR. Das Vorwaertsmodell basiert auf der Gleichung fuer Strahlunstransport, welche die Lichtausbreitung auch in schwach streuendem Gewebe korrekt beschreibt. Das Vorwaertsmodell berechnet mittels eine Finite-Differenzen Diskrete-Ordinaten Verfahrens die NIR-Detektorsignale am Geweberand bei gegebener Position der NIR-Lichtquelle und einem sinnvoll gewaehlten Startwert der Verteilung der optischen Parameter. Das inverse Modell, andererseits, bestimmt die unbekannten optischen Parameter im Gewebe bei gegebenen Detektorsignalen des Vorwaertsmodells und gemessenen Detektorsignalen des Experiments. Die gemessenen Detektorsignale werden mit den berechneten Detektorsignalen mittels einer definierten Zielfunktion (Optimierungsfunktion) verglichen. Diese Zielfunktion wird mit Hilfe nichtlinearer Optimierungsverfahren (konjugierte Gradientenverfahren, Quasi- Newton-Verfahren) minimiert. Diese Verfahren benutzen die erste Ableitung der Zielfunktion nach den optischen Parametern (Gradient), um eine Suchrichtung, die in Richtung des Minimums zeigt, bestimmen zu koennen. Die optischen Parameter am Punkt des Minimums werden in einem Schnittbild dargestellt. Ein Hauptproblem der Optimierungsverfahren ist die zeiteffiziente numerische Berechnung des Gradienten, da die Objektfunktion eine Funktion von ca. 10.000 unbekannten optischen Parametern ist. Deshalb wird die Methode der Differenzierung von Algorithmen ("adjoint differentiation") verwendet, welche eine numerische Umsetzung eines "adjoint models" darstellt. Dieses Verfahren wurde erstmals auf die Strahlungstransportgleichung angewendet. Die verwendete Zeit zur numerischen Berechnung des Gradienten entspricht ca. der Zeit, die zum numerischen Loesen der Transportgleichung im Vorwaertsmodell benoetigt wurde. Rekonstruierte Schnittbilder der optischen Parameter von menschlichen Fingergelenken wurden erstmals in dieser Arbeit praesentiert, die zur Fruehdiagnose der rheumatischen Arthritis verwendet werden koennen.